Solución:

Una esfera de radio $\rho$ tangente a $\mathcal{P}$ en $P$ tiene centro $P + \rho k,$ donde $k$ es el vector normal unitario hacia arriba de $\mathcal{P}.$ Escriba $\mathcal{T}$ como $\{x : n \cdot x = c\}$ con normal unitaria $n = (n_1, n_2, h)$ en coordenadas donde $\mathcal{P}$ es el plano $xy$. La tangencia con todas las esferas del mismo lado significa $n \cdot (P + \rho k) - c = \rho$ para cada esfera, es decir $n_1 x_P + n_2 y_P - c = (1 - h)\rho.$ Aquí $h \ne 1,$ pues de lo contrario el lado izquierdo sería constante mientras que los radios difieren. Así $\rho = g(P)$ para la función afín $g(x,y) = \frac{n_1 x + n_2 y - c}{1 - h}.$

Tome $A = (0,0),$ $B = (6,0),$ $C = (0,4).$ La función afín con $g(A) = 1,$ $g(B) = 2,$ $g(C) = 3$ es $g(x,y) = 1 + \frac{x}{6} + \frac{y}{2}.$ El baricentro es $G = \left(2, \frac{4}{3}\right),$ y la recta $BC$ es $2x + 3y = 12.$ Como $2 \cdot 2 + 3 \cdot \frac{4}{3} - 12 = -4,$ la reflexión da $$\begin{aligned} D &= G + \frac{8}{13}\,(2, 3) \\ &= \left(\frac{42}{13},\ \frac{124}{39}\right). \end{aligned}$$

Por lo tanto $r = g(D)$ $= 1 + \frac{1}{6} \cdot \frac{42}{13}$ $+ \frac{1}{2} \cdot \frac{124}{39}$ $= 1 + \frac{21}{39} + \frac{62}{39}$ $= \frac{122}{39}.$ (Tal plano existe: la condición sobre la normal $(1-h)^2\left|\nabla g\right|^2 = 1 - h^2$ con $\left|\nabla g\right|^2 = \frac{5}{18}$ da $h = -\frac{13}{23}.$) Como $\gcd(122, 39) = 1,$ la respuesta es $122 + 39 = 161.$