Question

Un cuadrilátero convexo tiene área $30$ y longitudes de lado $5,$ $6,$ $9,$ y $7,$ en ese orden. Denote por $\theta$ la medida del ángulo agudo formado por las diagonales del cuadrilátero. Entonces $\tan \theta$ se puede escribir en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

A convex quadrilateral has area $30$ and side lengths $5,$ $6,$ $9,$ and $7,$ in that order. Denote by $\theta$ the measure of the acute angle formed by the diagonals of the quadrilateral. Then $\tan \theta$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 47

Conceptos:ley de los cosenos área trigonometría

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Si las diagonales tienen longitudes $p$ y $q$ y se cortan en ángulo $\theta,$ el área del cuadrilátero es $\frac{1}{2}pq\sin\theta$

If the diagonals have lengths $p$ and $q$ and meet at angle $\theta,$ the area of the quadrilateral is $\frac{1}{2}pq\sin\theta$

Pista grande:

La ley de cosenos en los cuatro triángulos de las esquinas da $BC^2 + DA^2 - AB^2 - CD^2$ $= 2pq\cos(\angle APB),$ donde $P$ es la intersección de las diagonales

The law of cosines in the four corner triangles gives $BC^2 + DA^2 - AB^2 - CD^2$ $= 2pq\cos(\angle APB),$ where $P$ is the diagonals’ intersection

Solución:

Etiquetamos el cuadrilátero $ABCD$ con $AB = 5,$ $BC = 6,$ $CD = 9,$ $DA = 7,$ y sea $P$ el punto donde se cortan las diagonales, que dividen $\overline{AC}$ en $p_1, p_2$ y $\overline{BD}$ en $q_1, q_2.$ Con $\varphi = \angle APB,$ la ley de cosenos en los cuatro triángulos de las esquinas (cuyos ángulos en $P$ alternan entre $\varphi$ y $180^\circ - \varphi$ ) da $\begin{aligned} &BC^2 + DA^2 - AB^2 - CD^2 \\ &= 2(p_1q_1 + p_1q_2 + p_2q_1 + p_2q_2) \\ &\quad {}\cdot \cos\varphi \\ &= 2\,AC \cdot BD \cos\varphi. \end{aligned}$

El lado izquierdo es $36 + 49 - 25 - 81 = -21,$ así que $AC \cdot BD\,|\cos\varphi| = \frac{21}{2},$ y el ángulo agudo $\theta$ entre las diagonales satisface $AC \cdot BD \cos\theta = \frac{21}{2}.$ Mientras tanto, los cuatro triángulos de las esquinas dan el área $\frac{1}{2} AC \cdot BD \sin\theta = 30,$ así que $AC \cdot BD \sin\theta = 60.$

Dividiendo, $\tan\theta = \frac{60}{\frac{21}{2}} = \frac{40}{7},$ así que $m + n = 40 + 7 = 47.$

Label the quadrilateral $ABCD$ with $AB = 5,$ $BC = 6,$ $CD = 9,$ $DA = 7,$ and let the diagonals meet at $P,$ cutting $\overline{AC}$ into $p_1, p_2$ and $\overline{BD}$ into $q_1, q_2.$ With $\varphi = \angle APB,$ the law of cosines in the four corner triangles (whose angles at $P$ alternate between $\varphi$ and $180^\circ - \varphi$ ) gives $\begin{aligned} &BC^2 + DA^2 - AB^2 - CD^2 \\ &= 2(p_1q_1 + p_1q_2 + p_2q_1 + p_2q_2) \\ &\quad {}\cdot \cos\varphi \\ &= 2\,AC \cdot BD \cos\varphi. \end{aligned}$

The left side is $36 + 49 - 25 - 81 = -21,$ so $AC \cdot BD\,|\cos\varphi| = \frac{21}{2},$ and the acute angle $\theta$ between the diagonals satisfies $AC \cdot BD \cos\theta = \frac{21}{2}.$ Meanwhile the four corner triangles give the area $\frac{1}{2} AC \cdot BD \sin\theta = 30,$ so $AC \cdot BD \sin\theta = 60.$

Dividing, $\tan\theta = \frac{60}{\frac{21}{2}} = \frac{40}{7},$ so $m + n = 40 + 7 = 47.$

2021 AIME II Problema 12

Respuesta: 47

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años