Question

La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ es tangente a $\overline{AB}$ en $P,$ y su radio es $21.$ Dado que $AP = 23$ y $PB = 27,$ halla el perímetro del triángulo.

The inscribed circle of triangle $ABC$ is tangent to $\overline{AB}$ at $P,$ and its radius is $21.$ Given that $AP = 23$ and $PB = 27,$ find the perimeter of the triangle.

Respuesta

Solución:

Los segmentos tangentes desde un punto son iguales, así que las longitudes tangentes desde $A,$ $B,$ $C$ son $23,$ $27,$ y cierto $z.$ Entonces los lados son $50,$ $23 + z,$ $27 + z,$ el semiperímetro es $s = 50 + z,$ y la fórmula de Herón da el área $\sqrt{(50 + z) \cdot z \cdot 23 \cdot 27}.$

El área también es igual a $rs = 21(50 + z).$ Elevando al cuadrado $21(50 + z) = \sqrt{621 z (50 + z)}$ y dividiendo entre $50 + z$ se obtiene $441(50 + z) = 621 z,$ así que $180 z = 22050$ y $z = \frac{245}{2}.$

El perímetro es $2s = 2\left(50 + \frac{245}{2}\right) = 345.$

Tangent segments from a point are equal, so the tangent lengths from $A,$ $B,$ $C$ are $23,$ $27,$ and some $z.$ Then the sides are $50,$ $23 + z,$ $27 + z,$ the semiperimeter is $s = 50 + z,$ and Heron's formula gives area $\sqrt{(50 + z) \cdot z \cdot 23 \cdot 27}.$

The area also equals $rs = 21(50 + z).$ Squaring $21(50 + z) = \sqrt{621 z (50 + z)}$ and dividing by $50 + z$ gives $441(50 + z) = 621 z,$ so $180 z = 22050$ and $z = \frac{245}{2}.$

The perimeter is $2s = 2\left(50 + \frac{245}{2}\right) = 345.$

1999 AIME Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años