Question

Sea $\triangle PQR$ un triángulo con $\angle P = 75^\circ$ y $\angle Q = 60^\circ.$ Se dibuja un hexágono regular $ABCDEF$ de lado $1$ dentro de $\triangle PQR$ de modo que el lado $\overline{AB}$ esté sobre $\overline{PQ},$ el lado $\overline{CD}$ esté sobre $\overline{QR},$ y uno de los vértices restantes esté sobre $\overline{RP}.$ Existen enteros positivos $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ tales que el área de $\triangle PQR$ puede expresarse en la forma $\frac{a + b\sqrt{c}}{d},$ donde $a$ y $d$ son primos entre sí, y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $a + b + c + d.$

Let $\triangle PQR$ be a triangle with $\angle P = 75^\circ$ and $\angle Q = 60^\circ.$ A regular hexagon $ABCDEF$ with side length $1$ is drawn inside $\triangle PQR$ so that side $\overline{AB}$ lies on $\overline{PQ},$ side $\overline{CD}$ lies on $\overline{QR},$ and one of the remaining vertices lies on $\overline{RP}.$ There are positive integers $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ such that the area of $\triangle PQR$ can be expressed in the form $\frac{a + b\sqrt{c}}{d},$ where $a$ and $d$ are relatively prime, and $c$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c + d.$

Respuesta

Solución:

Nota que $\angle R = 45^\circ.$ Como los ángulos interiores del hexágono son $120^\circ,$ los segmentos $\overline{BC}$ recortan un triángulo de esquina en $Q$ con dos ángulos base de $60^\circ,$ así que el triángulo $BQC$ es equilátero y $QB = QC = 1.$ Coloca $Q$ en el origen con $QR$ sobre el semieje positivo $x$ . Entonces $C = (1, 0),$ $D = (2, 0),$ y los vértices del hexágono son $B = \left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right),$ $A = (1, \sqrt{3}),$ $F = (2, \sqrt{3}),$ $E = \left(\tfrac{5}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).$

Como $\angle R = 45^\circ,$ la recta $RP$ tiene pendiente $-1.$ Si pasara por $E,$ sería $x + y = \tfrac{5 + \sqrt{3}}{2},$ lo que deja a $F$ (con $x + y = 2 + \sqrt{3}$ ) fuera del triángulo; así que el vértice sobre $\overline{RP}$ es $F,$ y $RP$ es la recta $x + y = 2 + \sqrt{3}.$ Corta al eje $x$ en $R = (2 + \sqrt{3},\ 0)$ y a la recta $y = \sqrt{3}\,x$ (recta $QP$ ) donde $x(1 + \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3},$ dando la altura de $P$ $y = \frac{\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}.$

El área es $\frac{1}{2} \cdot QR \cdot y$ $= \frac{1}{2}(2 + \sqrt{3}) \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ $= \frac{9 + 5\sqrt{3}}{4},$ así que $a + b + c + d = 9 + 5 + 3 + 4$ $= 21.$

Note $\angle R = 45^\circ.$ Because the hexagon's interior angles are $120^\circ,$ segments $\overline{BC}$ cut off a corner triangle at $Q$ with two $60^\circ$ base angles, so triangle $BQC$ is equilateral and $QB = QC = 1.$ Put $Q$ at the origin with $QR$ along the positive $x$ -axis. Then $C = (1, 0),$ $D = (2, 0),$ and the hexagon's vertices are $B = \left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right),$ $A = (1, \sqrt{3}),$ $F = (2, \sqrt{3}),$ $E = \left(\tfrac{5}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).$

Since $\angle R = 45^\circ,$ line $RP$ has slope $-1.$ If it passed through $E,$ it would be $x + y = \tfrac{5 + \sqrt{3}}{2},$ which puts $F$ (with $x + y = 2 + \sqrt{3}$ ) outside the triangle; so the vertex on $\overline{RP}$ is $F,$ and $RP$ is the line $x + y = 2 + \sqrt{3}.$ It meets the $x$ -axis at $R = (2 + \sqrt{3},\ 0)$ and the line $y = \sqrt{3}\,x$ (line $QP$ ) where $x(1 + \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3},$ giving $P$ height $y = \frac{\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}.$

The area is $\frac{1}{2} \cdot QR \cdot y$ $= \frac{1}{2}(2 + \sqrt{3}) \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ $= \frac{9 + 5\sqrt{3}}{4},$ so $a + b + c + d = 9 + 5 + 3 + 4$ $= 21.$

2013 AIME I Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años