Question

Considera un tetraedro con dos caras triangulares isósceles de lados $5\sqrt{10},$ $5\sqrt{10},$ y $10$ y dos caras triangulares isósceles de lados $5\sqrt{10},$ $5\sqrt{10},$ y $18.$ Los cuatro vértices del tetraedro están sobre una esfera de centro $S,$ y las cuatro caras del tetraedro son tangentes a una esfera de centro $R.$ La distancia $RS$ se puede escribir como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Consider a tetrahedron with two isosceles triangle faces with side lengths $5\sqrt{10},$ $5\sqrt{10},$ and $10$ and two isosceles triangle faces with side lengths $5\sqrt{10},$ $5\sqrt{10},$ and $18.$ The four vertices of the tetrahedron lie on a sphere with center $S,$ and the four faces of the tetrahedron are tangent to a sphere with center $R.$ The distance $RS$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Las cuatro caras tienen el multiconjunto de lados $\{5\sqrt{10} \times 8,\ 10 \times 2,\ 18 \times 2\},$ y cada arista está en dos caras, así que el tetraedro $ABCD$ tiene $AB = 10$ y $CD = 18$ como aristas opuestas y las otras cuatro aristas iguales a $5\sqrt{10}.$ Coloca $\begin{aligned} &A = (-5, 0, 12), \\ &B = (5, 0, 12), \\ &C = (0, -9, 0), \\ &D = (0, 9, 0), \end{aligned}$ lo cual es consistente puesto que $AC^2 = 25 + 81 + 144$ $= 250$ $= (5\sqrt{10})^2.$ La configuración es simétrica bajo $x \to -x$ y bajo $y \to -y,$ así que ambos centros están sobre el eje $z$ .

Para $S = (0, 0, s),$ igualar las distancias a $A$ y a $C$ da $25 + (12 - s)^2 = 81 + s^2,$ así que $s = \frac{11}{3}.$ Para $R = (0, 0, t),$ la cara $ABC$ tiene plano $4y - 3z + 36 = 0$ y la cara $ACD$ tiene plano $12x + 5z = 0,$ así que distancias iguales requieren $\frac{36 - 3t}{5} = \frac{5t}{13} \implies t = \frac{117}{16},$ y por las dos simetrías especulares este punto es equidistante (a distancia $\frac{45}{16}$ ) de las cuatro caras.

Por lo tanto $RS = \frac{117}{16} - \frac{11}{3}$ $= \frac{351 - 176}{48} = \frac{175}{48},$ que ya es irreducible, así que $m + n = 175 + 48 = 223.$

The four faces have side multiset $\{5\sqrt{10} \times 8,\ 10 \times 2,\ 18 \times 2\},$ and each edge lies on two faces, so the tetrahedron $ABCD$ has $AB = 10$ and $CD = 18$ as opposite edges and the other four edges equal to $5\sqrt{10}.$ Place $\begin{aligned} &A = (-5, 0, 12), \\ &B = (5, 0, 12), \\ &C = (0, -9, 0), \\ &D = (0, 9, 0), \end{aligned}$ which is consistent since $AC^2 = 25 + 81 + 144$ $= 250$ $= (5\sqrt{10})^2.$ The configuration is symmetric under $x \to -x$ and under $y \to -y,$ so both centers lie on the $z$ -axis.

For $S = (0, 0, s),$ equating distances to $A$ and $C$ gives $25 + (12 - s)^2 = 81 + s^2,$ so $s = \frac{11}{3}.$ For $R = (0, 0, t),$ face $ABC$ has plane $4y - 3z + 36 = 0$ and face $ACD$ has plane $12x + 5z = 0,$ so equal distances require $\frac{36 - 3t}{5} = \frac{5t}{13} \implies t = \frac{117}{16},$ and by the two mirror symmetries this point is equidistant (at distance $\frac{45}{16}$ ) from all four faces.

Therefore $RS = \frac{117}{16} - \frac{11}{3}$ $= \frac{351 - 176}{48} = \frac{175}{48},$ which is in lowest terms, so $m + n = 175 + 48 = 223.$

2026 AIME II Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años