Solución:

Un conjunto primo $T$ es la imagen de una inyección que envía cada $x \in S$ a $x - 1$ o $x + 1,$ cayendo fuera de $S.$ Si $x - 1, x, x + 1 \in S$ entonces $x$ no tiene a dónde ir, así que todo bloque maximal de elementos consecutivos de $S$ tiene tamaño $1$ o $2.$ Un bloque doble $\{a, a+1\}$ está obligado a aplicarse en $\{a - 1, a + 2\},$ mientras que un bloque unitario $\{a\}$ elige $a - 1$ o $a + 1.$ Dos bloques solo pueden disputarse un valor cuando exactamente un entero los separa, así que agrupamos los bloques en cadenas: bloques consecutivos con huecos de exactamente uno. Dentro de una cadena los únicos patrones consistentes son "los primeros $i$ bloques se desplazan a la izquierda y el resto a la derecha", ya que un bloque que elige la derecha y su sucesor que elige la izquierda colisionarían; un bloque doble actúa a la vez como izquierda y derecha, forzando a que el cambio ocurra exactamente en él. Por lo tanto una cadena de $k$ unitarios produce $k + 1$ imágenes distintas, una cadena que contiene un doble produce exactamente $1,$ y una cadena con dos dobles produce $0.$ Patrones distintos dan conjuntos distintos $T,$ y las elecciones en cadenas diferentes son independientes, así que el número de primos es el producto de $(k_i + 1)$ sobre las cadenas totalmente unitarias.

Necesitamos $\prod (k_i + 1) = 4040 = 2^3 \cdot 5 \cdot 101$ minimizando a la vez el número de elementos $\sum k_i$ (las cadenas con dobles solo desperdician elementos). Reemplazar un factor compuesto $f = gh$ por los dos factores $g, h \ge 2$ reduce estrictamente el costo, porque $(g - 1) + (h - 1) \lt gh - 1.$ Así que el óptimo usa la factorización en primos: $$\begin{aligned} &\sum (f - 1) \\ &= 1 + 1 + 1 + 4 + 100 \\ &= 107, \end{aligned}$$ realizada por cinco cadenas de $1, 1, 1, 4, 100$ unitarios, series de enteros alternos, colocadas muy separadas.

El menor número posible de elementos es $107.$