Question

Tres círculos concéntricos tienen radios $3,$ $4,$ y $5.$ Un triángulo equilátero con un vértice en cada círculo tiene lado de longitud $s.$ El área máxima posible del triángulo puede escribirse como $a + \frac{b}{c}\sqrt{d},$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son enteros positivos, $b$ y $c$ son primos entre sí, y $d$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $a + b + c + d.$

Three concentric circles have radii $3,$ $4,$ and $5.$ An equilateral triangle with one vertex on each circle has side length $s.$ The largest possible area of the triangle can be written as $a + \frac{b}{c}\sqrt{d},$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers, $b$ and $c$ are relatively prime, and $d$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c + d.$

Respuesta

Solución:

Sea $O$ el centro común y etiqueta el triángulo $ABC$ con $OA = 3,$ $OB = 4,$ $OC = 5.$ Rota el plano $60^\circ$ alrededor de $A$ para que $B$ se transforme en $C,$ y sea $P$ la imagen de $O.$ Entonces el triángulo $AOP$ es equilátero, así que $OP = OA = 3,$ y $PC,$ la imagen de $OB,$ tiene longitud $4.$

El triángulo $OPC$ tiene lados $3,$ $4,$ $5,$ así que $\angle OPC = 90^\circ.$ En la configuración que da el triángulo más grande, $O$ está dentro de $ABC$ y $\angle APC$ $= \angle APO + \angle OPC$ $= 60^\circ + 90^\circ$ $= 150^\circ,$ así que por la ley de cosenos $\begin{aligned} s^2 &= AC^2 = 3^2 + 4^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 3 \cdot 4\cos 150^\circ \\ &= 25 + 12\sqrt{3}. \end{aligned}$ (Si $O$ está fuera del triángulo, el triángulo cabe en un semidisco de radio $5,$ así que su altura es a lo sumo $5$ y $s^2 \le \frac{100}{3},$ que es menor.)

El área es $\frac{\sqrt{3}}{4}\,s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(25 + 12\sqrt{3}\right)$ $= 9 + \frac{25}{4}\sqrt{3},$ así que $a + b + c + d$ $= 9 + 25 + 4 + 3$ $= 41.$

Let $O$ be the common center and label the triangle $ABC$ with $OA = 3,$ $OB = 4,$ $OC = 5.$ Rotate the plane by $60^\circ$ about $A$ so that $B$ maps to $C,$ and let $P$ be the image of $O.$ Then triangle $AOP$ is equilateral, so $OP = OA = 3,$ and $PC,$ the image of $OB,$ has length $4.$

Triangle $OPC$ has sides $3,$ $4,$ $5,$ so $\angle OPC = 90^\circ.$ In the configuration giving the largest triangle, $O$ lies inside $ABC$ and $\angle APC$ $= \angle APO + \angle OPC$ $= 60^\circ + 90^\circ$ $= 150^\circ,$ so by the Law of Cosines $\begin{aligned} s^2 &= AC^2 = 3^2 + 4^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 3 \cdot 4\cos 150^\circ \\ &= 25 + 12\sqrt{3}. \end{aligned}$ (If $O$ lies outside the triangle, the triangle fits in a half-disk of radius $5,$ so its altitude is at most $5$ and $s^2 \le \frac{100}{3},$ which is smaller.)

The area is $\frac{\sqrt{3}}{4}\,s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(25 + 12\sqrt{3}\right)$ $= 9 + \frac{25}{4}\sqrt{3},$ so $a + b + c + d$ $= 9 + 25 + 4 + 3$ $= 41.$

2012 AIME I Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años