Question

Los números complejos

a,

b,

y

c

son los ceros de un polinomio

P(z) = z^3 + qz + r,

y

|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 = 250.

Los puntos correspondientes a

a,

b,

y

c

en el plano complejo son los vértices de un triángulo rectángulo con hipotenusa

h.

Halla

h^2.

Complex numbers

a,

b,

and

c

are the zeros of a polynomial

P(z) = z^3 + qz + r,

and

|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 = 250.

The points corresponding to

a,

b,

and

c

in the complex plane are the vertices of a right triangle with hypotenuse

h.

Find

h^2.

Respuesta

Respuesta: 375

Conceptos:número complejo Fórmulas de Vieta triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

No hay término

z^2

, así que

a + b + c = 0;

si el ángulo recto está en

b,

entonces

b = -(a + c)

There is no

z^2

term, so

a + b + c = 0;

if the right angle is at

b,

then

b = -(a + c)

Pista grande:

El punto medio de la hipotenusa

\frac{a + c}{2}

equidista de los tres vértices; además

|a|^2 + |c|^2 = \frac{|a - c|^2 + |a + c|^2}{2}

The hypotenuse midpoint

\frac{a + c}{2}

is equidistant from all three vertices; also

|a|^2 + |c|^2 = \frac{|a - c|^2 + |a + c|^2}{2}

Solución:

Como

P(z)

no tiene término

z^2

,

a + b + c = 0.

Supongamos que el ángulo recto está en

b;

entonces la hipotenusa une

a

y

c,

así que

h = |a - c|,

y

b = -(a + c).

El punto medio

d = \frac{a + c}{2}

de la hipotenusa es el circuncentro del triángulo rectángulo, así que

|b - d| = \frac{h}{2}.

Como

b - d = -\frac{3}{2}(a + c),

esto da

|a - c| = 3\,|a + c|.

Por la ley del paralelogramo,

|a|^2 + |c|^2 = \frac{|a - c|^2 + |a + c|^2}{2},

y

|b|^2 = |a + c|^2,

así que

\begin{aligned} 250 &= \frac{9\,|a + c|^2 + |a + c|^2}{2} \\ &\quad {}+ |a + c|^2 \\ &= 6\,|a + c|^2. \end{aligned}

Por lo tanto

h^2 = |a - c|^2 = 9\,|a + c|^2

= \frac{9 \cdot 250}{6}

= 375.

Since

P(z)

has no

z^2

term,

a + b + c = 0.

Say the right angle is at

b;

then the hypotenuse joins

a

and

c,

so

h = |a - c|,

and

b = -(a + c).

The midpoint

d = \frac{a + c}{2}

of the hypotenuse is the circumcenter of the right triangle, so

|b - d| = \frac{h}{2}.

Since

b - d = -\frac{3}{2}(a + c),

this gives

|a - c| = 3\,|a + c|.

By the parallelogram law,

|a|^2 + |c|^2 = \frac{|a - c|^2 + |a + c|^2}{2},

and

|b|^2 = |a + c|^2,

so

\begin{aligned} 250 &= \frac{9\,|a + c|^2 + |a + c|^2}{2} \\ &\quad {}+ |a + c|^2 \\ &= 6\,|a + c|^2. \end{aligned}

Therefore

h^2 = |a - c|^2 = 9\,|a + c|^2

= \frac{9 \cdot 250}{6}

= 375.

2012 AIME I Problema 14

Respuesta: 375

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años