Question

Los números complejos $a,$ $b,$ y $c$ son los ceros de un polinomio $P(z) = z^3 + qz + r,$ y $|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 = 250.$ Los puntos correspondientes a $a,$ $b,$ y $c$ en el plano complejo son los vértices de un triángulo rectángulo con hipotenusa $h.$ Halla $h^2.$

Complex numbers $a,$ $b,$ and $c$ are the zeros of a polynomial $P(z) = z^3 + qz + r,$ and $|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 = 250.$ The points corresponding to $a,$ $b,$ and $c$ in the complex plane are the vertices of a right triangle with hypotenuse $h.$ Find $h^2.$

Respuesta

Solución:

Como $P(z)$ no tiene término $z^2$ , $a + b + c = 0.$ Supongamos que el ángulo recto está en $b;$ entonces la hipotenusa une $a$ y $c,$ así que $h = |a - c|,$ y $b = -(a + c).$ El punto medio $d = \frac{a + c}{2}$ de la hipotenusa es el circuncentro del triángulo rectángulo, así que $|b - d| = \frac{h}{2}.$ Como $b - d = -\frac{3}{2}(a + c),$ esto da $|a - c| = 3\,|a + c|.$

Por la ley del paralelogramo, $|a|^2 + |c|^2 = \frac{|a - c|^2 + |a + c|^2}{2},$ y $|b|^2 = |a + c|^2,$ así que $\begin{aligned} 250 &= \frac{9\,|a + c|^2 + |a + c|^2}{2} \\ &\quad {}+ |a + c|^2 \\ &= 6\,|a + c|^2. \end{aligned}$

Por lo tanto $h^2 = |a - c|^2 = 9\,|a + c|^2$ $= \frac{9 \cdot 250}{6}$ $= 375.$

Since $P(z)$ has no $z^2$ term, $a + b + c = 0.$ Say the right angle is at $b;$ then the hypotenuse joins $a$ and $c,$ so $h = |a - c|,$ and $b = -(a + c).$ The midpoint $d = \frac{a + c}{2}$ of the hypotenuse is the circumcenter of the right triangle, so $|b - d| = \frac{h}{2}.$ Since $b - d = -\frac{3}{2}(a + c),$ this gives $|a - c| = 3\,|a + c|.$

By the parallelogram law, $|a|^2 + |c|^2 = \frac{|a - c|^2 + |a + c|^2}{2},$ and $|b|^2 = |a + c|^2,$ so $\begin{aligned} 250 &= \frac{9\,|a + c|^2 + |a + c|^2}{2} \\ &\quad {}+ |a + c|^2 \\ &= 6\,|a + c|^2. \end{aligned}$

Therefore $h^2 = |a - c|^2 = 9\,|a + c|^2$ $= \frac{9 \cdot 250}{6}$ $= 375.$

2012 AIME I Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años