Question

Centrados en cada punto reticular del plano coordenado hay una circunferencia de radio $\frac{1}{10}$ y un cuadrado con lados de longitud $\frac{1}{5}$ cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados. El segmento de recta desde $(0, 0)$ hasta $(1001, 429)$ corta $m$ de los cuadrados y $n$ de las circunferencias. Halla $m + n.$

Centered at each lattice point in the coordinate plane are a circle radius $\frac{1}{10}$ and a square with sides of length $\frac{1}{5}$ whose sides are parallel to the coordinate axes. The line segment from $(0, 0)$ to $(1001, 429)$ intersects $m$ of the squares and $n$ of the circles. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Como $\gcd(1001, 429) = 143,$ el segmento pasa por los puntos reticulares $(7k, 3k)$ para $k = 0, \ldots, 143$ y consta de $143$ copias trasladadas del segmento desde $(0, 0)$ hasta $(7, 3).$ La recta es $y = \frac{3}{7}x.$ Corta el cuadrado centrado en $(m, n)$ exactamente cuando su altura pasa a menos de $\frac{1}{10}$ de $n$ para algún $x$ a menos de $\frac{1}{10}$ de $m,$ es decir cuando $\left|\frac{3m}{7} - n\right| \le \frac{1}{10} + \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{7},$ o equivalentemente $|3m - 7n| \le 1.$

Para $0 \le m \le 7$ las soluciones son $(0, 0)$ y $(7, 3)$ con $3m - 7n = 0,$ y $(2, 1)$ y $(5, 2)$ con $3m - 7n = \mp 1.$ En las dos primeras la recta pasa por el centro, así que también corta la circunferencia. En las otras dos, la igualdad significa que la recta pasa exactamente por una esquina del cuadrado (para $(2, 1),$ la esquina $(2.1, 0.9)$ ), mientras que su distancia al centro es $\frac{1}{\sqrt{3^2 + 7^2}} = \frac{1}{\sqrt{58}} \gt \frac{1}{10},$ así que no toca la circunferencia. Por lo tanto cada copia del segmento corta $4$ cuadrados y $2$ circunferencias.

Los $142$ puntos reticulares interiores $(7k, 3k)$ son compartidos cada uno por dos copias consecutivas, así que $m = 4 \cdot 143 - 142 = 430$ y $n = 2 \cdot 143 - 142 = 144,$ lo que da $m + n = 574.$

Since $\gcd(1001, 429) = 143,$ the segment passes through the lattice points $(7k, 3k)$ for $k = 0, \ldots, 143$ and consists of $143$ translated copies of the segment from $(0, 0)$ to $(7, 3).$ The line is $y = \frac{3}{7}x.$ It meets the square centered at $(m, n)$ exactly when its height passes within $\frac{1}{10}$ of $n$ for some $x$ within $\frac{1}{10}$ of $m,$ that is when $\left|\frac{3m}{7} - n\right| \le \frac{1}{10} + \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{7},$ or equivalently $|3m - 7n| \le 1.$

For $0 \le m \le 7$ the solutions are $(0, 0)$ and $(7, 3)$ with $3m - 7n = 0,$ and $(2, 1)$ and $(5, 2)$ with $3m - 7n = \mp 1.$ In the first two the line passes through the center, so it meets the circle as well. In the other two, equality means the line passes exactly through a corner of the square (for $(2, 1),$ the corner $(2.1, 0.9)$ ), while its distance to the center is $\frac{1}{\sqrt{3^2 + 7^2}} = \frac{1}{\sqrt{58}} \gt \frac{1}{10},$ so it misses the circle. Thus each copy of the segment meets $4$ squares and $2$ circles.

The $142$ interior lattice points $(7k, 3k)$ are each shared by two consecutive copies, so $m = 4 \cdot 143 - 142 = 430$ and $n = 2 \cdot 143 - 142 = 144,$ giving $m + n = 574.$

2016 AIME I Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años