Question

Sea una sucesión definida como sigue: $a_1 = 3,$ $a_2 = 3,$ y para $n \ge 2,$ $a_{n+1}a_{n-1} = a_n^2 + 2007.$ Halla el mayor entero menor o igual que $\frac{a_{2007}^2 + a_{2006}^2}{a_{2007}a_{2006}}.$

Let a sequence be defined as follows: $a_1 = 3,$ $a_2 = 3,$ and for $n \ge 2,$ $a_{n+1}a_{n-1} = a_n^2 + 2007.$ Find the largest integer less than or equal to $\frac{a_{2007}^2 + a_{2006}^2}{a_{2007}a_{2006}}.$

Respuesta

Solución:

Para $n \ge 3,$ se cumplen tanto $a_{n+1}a_{n-1} = a_n^2 + 2007$ como $a_n a_{n-2} = a_{n-1}^2 + 2007$ . Restando y reagrupando se obtiene $a_{n-1}(a_{n+1} + a_{n-1})$ $= a_n(a_n + a_{n-2}),$ así que $\frac{a_{n+1} + a_{n-1}}{a_n}$ tiene el mismo valor para todo $n \ge 2.$ Como $a_3 = \frac{3^2 + 2007}{3} = 672,$ ese valor es $\frac{672 + 3}{3} = 225,$ y la sucesión satisface $a_{n+1} = 225a_n - a_{n-1}.$

Multiplicando $a_{n+1} + a_{n-1} = 225a_n$ por $a_{n+1}$ y sustituyendo $a_{n+1}a_{n-1} = a_n^2 + 2007$ resulta $a_{n+1}^2 + a_n^2 + 2007 = 225\,a_n a_{n+1},$ así que $\frac{a_{n+1}^2 + a_n^2}{a_{n+1}a_n} = 225 - \frac{2007}{a_n a_{n+1}}.$

La sucesión es creciente: $a_3 = 672 \gt a_2,$ y $a_{n+1} = 225a_n - a_{n-1} \gt a_n$ siempre que $a_n \gt a_{n-1}.$ Por tanto $a_{2006}a_{2007} \gt 672^2 \gt 2007,$ así que la fracción está estrictamente entre $224$ y $225,$ y la respuesta es $224.$

For $n \ge 3,$ both $a_{n+1}a_{n-1} = a_n^2 + 2007$ and $a_n a_{n-2} = a_{n-1}^2 + 2007$ hold. Subtracting and regrouping gives $a_{n-1}(a_{n+1} + a_{n-1})$ $= a_n(a_n + a_{n-2}),$ so $\frac{a_{n+1} + a_{n-1}}{a_n}$ has the same value for every $n \ge 2.$ Since $a_3 = \frac{3^2 + 2007}{3} = 672,$ that value is $\frac{672 + 3}{3} = 225,$ and the sequence satisfies $a_{n+1} = 225a_n - a_{n-1}.$

Multiplying $a_{n+1} + a_{n-1} = 225a_n$ by $a_{n+1}$ and substituting $a_{n+1}a_{n-1} = a_n^2 + 2007$ yields $a_{n+1}^2 + a_n^2 + 2007 = 225\,a_n a_{n+1},$ so $\frac{a_{n+1}^2 + a_n^2}{a_{n+1}a_n} = 225 - \frac{2007}{a_n a_{n+1}}.$

The sequence increases: $a_3 = 672 \gt a_2,$ and $a_{n+1} = 225a_n - a_{n-1} \gt a_n$ whenever $a_n \gt a_{n-1}.$ Hence $a_{2006}a_{2007} \gt 672^2 \gt 2007,$ so the fraction lies strictly between $224$ and $225,$ and the answer is $224.$

2007 AIME I Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años