Question

Calcula $\frac{\begin{gathered}(10^4+324)(22^4+324)\\{}\cdot(34^4+324)(46^4+324)\\{}\cdot(58^4+324)\end{gathered}}{\begin{gathered}(4^4+324)(16^4+324)\\{}\cdot(28^4+324)(40^4+324)\\{}\cdot(52^4+324)\end{gathered}}.$

Compute $\frac{\begin{gathered}(10^4+324)(22^4+324)\\{}\cdot(34^4+324)(46^4+324)\\{}\cdot(58^4+324)\end{gathered}}{\begin{gathered}(4^4+324)(16^4+324)\\{}\cdot(28^4+324)(40^4+324)\\{}\cdot(52^4+324)\end{gathered}}.$

Respuesta

Respuesta: 373

Conceptos:manipulación algebraica factorización telescópica

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Usa la identidad de Sophie Germain con $324=4\cdot3^4$

Use Sophie Germain’s identity with $324=4\cdot3^4$

Pista grande:

Si $g(x)=x^2+6x+18,$ reescribe $x^4+324$ como $g(x-6)g(x)$

If $g(x)=x^2+6x+18,$ rewrite $x^4+324$ as $g(x-6)g(x)$

Solución:

Sea $g(x)=x^2+6x+18.$ La identidad de Sophie Germain da $x^4+324=g(x-6)g(x).$ Por tanto, el numerador aporta $g(4),g(10),\ldots,g(58),$ mientras que el denominador aporta $g(-2),g(4),\ldots,g(52).$ Todo se cancela salvo $\begin{aligned}\frac{g(58)}{g(-2)}&=\frac{58^2+6(58)+18}{4-12+18}\\&=\frac{3730}{10}=373.\end{aligned}$

Let $g(x)=x^2+6x+18.$ Sophie Germain’s identity gives $x^4+324=g(x-6)g(x).$ The numerator therefore supplies $g(4),g(10),\ldots,g(58),$ while the denominator supplies $g(-2),g(4),\ldots,g(52).$ Everything cancels except $\begin{aligned}\frac{g(58)}{g(-2)}&=\frac{58^2+6(58)+18}{4-12+18}\\&=\frac{3730}{10}=373.\end{aligned}$

1987 AIME Problema 14

Respuesta: 373

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años