Question

Dado un entero positivo $n,$ se puede demostrar que todo número complejo de la forma $r+si,$ donde $r$ y $s$ son enteros, puede expresarse de manera única en base $-n+i$ usando los enteros $0,$ $1,$ $\ldots,$ $n^2$ como dígitos. Es decir, la ecuación

$\begin{aligned}r+si={}&a_m(-n+i)^m\\&+a_{m-1}(-n+i)^{m-1}\\&+\cdots+a_1(-n+i)\\&+a_0\end{aligned}$

es verdadera para una elección única del entero no negativo $m$ y de los dígitos $a_0,$ $a_1,$ $\ldots,$ $a_m$ tomados del conjunto $\{0,1,2,\ldots,n^2\},$ con $a_m\ne0.$ Escribimos

$r+si=(a_ma_{m-1}\ldots a_1a_0)_{-n+i}$

para denotar la expansión en base $-n+i$ de $r+si.$ Solo hay una cantidad finita de enteros $k+0i$ que tienen expansiones de cuatro dígitos

$k=(a_3a_2a_1a_0)_{-3+i}\qquad a_3\ne0.$

Halla la suma de todos esos $k.$

Given a positive integer $n,$ it can be shown that every complex number of the form $r+si,$ where $r$ and $s$ are integers, can be uniquely expressed in the base $-n+i$ using the integers $0,$ $1,$ $\ldots,$ $n^2$ as digits. That is, the equation

$\begin{aligned}r+si={}&a_m(-n+i)^m\\&+a_{m-1}(-n+i)^{m-1}\\&+\cdots+a_1(-n+i)\\&+a_0\end{aligned}$

is true for a unique choice of nonnegative integer $m$ and digits $a_0,$ $a_1,$ $\ldots,$ $a_m$ chosen from the set $\{0,1,2,\ldots,n^2\},$ with $a_m\ne0.$ We write

$r+si=(a_ma_{m-1}\ldots a_1a_0)_{-n+i}$

to denote the base $-n+i$ expansion of $r+si.$ There are only finitely many integers $k+0i$ that have four-digit expansions

$k=(a_3a_2a_1a_0)_{-3+i}\qquad a_3\ne0.$

Find the sum of all such $k.$

Respuesta

Respuesta: 490

Conceptos:número complejo base numérica sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Calcula la segunda y la tercera potencia de $-3+i$ e iguala a cero la parte imaginaria de la expansión

Compute the second and third powers of $-3+i$ and set the imaginary part of the expansion equal to zero

Pista grande:

Los límites de los dígitos dejan solo dos ternas posibles $(a_3,a_2,a_1)$ ; luego deja que $a_0$ recorra todos los dígitos

The digit bounds leave only two possible triples $(a_3,a_2,a_1)$ ; then let $a_0$ range over all digits

Solución:

Sea $b=-3+i.$ Entonces $b^2=8-6i$ y $b^3=-18+26i.$

La parte imaginaria de $a_3b^3+a_2b^2+a_1b+a_0$ es $26a_3-6a_2+a_1.$ Por lo tanto, $a_1=6a_2-26a_3.$ Con $1\leq a_3\leq9$ y $0\leq a_1,a_2\leq9,$ las únicas posibilidades son $\begin{gathered}(a_3,a_2,a_1)=(1,5,4),\\(a_3,a_2,a_1)=(2,9,2).\end{gathered}$

Las partes reales correspondientes son $10+a_0$ y $30+a_0,$ respectivamente. Cuando $a_0$ recorre los valores desde $0$ hasta $9,$ la suma pedida es $\begin{aligned}&(10+11+\cdots+19)\\&\quad+(30+31+\cdots+39)\\&=145+345=490.\end{aligned}$

Let $b=-3+i.$ Then $b^2=8-6i$ and $b^3=-18+26i.$

The imaginary part of $a_3b^3+a_2b^2+a_1b+a_0$ is $26a_3-6a_2+a_1.$ Thus $a_1=6a_2-26a_3.$ With $1\leq a_3\leq9$ and $0\leq a_1,a_2\leq9,$ the only possibilities are $\begin{gathered}(a_3,a_2,a_1)=(1,5,4),\\(a_3,a_2,a_1)=(2,9,2).\end{gathered}$

The corresponding real parts are $10+a_0$ and $30+a_0,$ respectively. As $a_0$ ranges from $0$ through $9,$ the required sum is $\begin{aligned}&(10+11+\cdots+19)\\&\quad+(30+31+\cdots+39)\\&=145+345=490.\end{aligned}$

1989 AIME Problema 14

Respuesta: 490

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años