Question

En la figura adjunta se trazan dos círculos de radios $6$ y $8$ , cuyos centros están separados por $12$ unidades. En $P,$ uno de los puntos de intersección, se traza una recta de modo que las cuerdas $QP$ y $PR$ tengan la misma longitud. Halla el cuadrado de la longitud de $QP.$

In the adjoining figure, two circles of radii $6$ and $8$ are drawn with their centers $12$ units apart. At $P,$ one of the points of intersection, a line is drawn in such a way that the chords $QP$ and $PR$ have equal length. Find the square of the length of $QP.$

Respuesta

Respuesta: 130

Conceptos:círculo cuerda geometría analítica vector

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Coloca los centros en $(-6,0)$ y $(6,0)$ y halla las coordenadas de $P$

Put the centers at $(-6,0)$ and $(6,0)$ and find the coordinates of $P$

Pista grande:

Si $Q=P-\ell u$ y $R=P+\ell u,$ resta, en cada círculo, las ecuaciones de igual radio para el extremo correspondiente y el punto de intersección

If $Q=P-\ell u$ and $R=P+\ell u,$ subtract the two equal-radius equations

Solución:

Coloca el centro del círculo de radio $8$ en $O_1=(-6,0)$ y el otro centro en $O_2=(6,0).$ Al restar las dos ecuaciones de los círculos se obtiene $P=\left(\frac76,\frac{\sqrt{455}}6\right),$ donde la coordenada $y$ positiva selecciona la intersección mostrada.

Sea $\ell$ la longitud común de las cuerdas y sea $u$ el vector unitario de $Q$ hacia $R.$ Entonces $Q=P-\ell u$ y $R=P+\ell u.$ Al comparar $Q$ con $P$ en el primer círculo y $R$ con $P$ en el segundo, se obtiene $\begin{aligned} u\mathbin{\cdot}(P-O_1)&=\frac{\ell}{2},\\ u\mathbin{\cdot}(P-O_2)&=-\frac{\ell}{2}. \end{aligned}$ Al sumar se ve que $u\perp P,$ de modo que $u=\frac{(\sqrt{455},-7)}{\sqrt{504}}.$ Al restar las dos ecuaciones de productos escalares se obtiene $\ell=u\mathbin{\cdot}(O_2-O_1) =\frac{12\sqrt{455}}{\sqrt{504}}.$ Por lo tanto, $\ell^2=\frac{144\cdot455}{504}=130.$

Put the center of the radius- $8$ circle at $O_1=(-6,0)$ and the other center at $O_2=(6,0).$ Subtracting the two circle equations gives $P=\left(\frac76,\frac{\sqrt{455}}6\right),$ where the positive $y$ -coordinate selects the pictured intersection.

Let the common chord length be $\ell,$ and let $u$ be the unit vector from $Q$ toward $R.$ Then $Q=P-\ell u$ and $R=P+\ell u.$ Comparing $Q$ with $P$ in the first circle and $R$ with $P$ in the second gives $\begin{aligned} u\mathbin{\cdot}(P-O_1)&=\frac{\ell}{2},\\ u\mathbin{\cdot}(P-O_2)&=-\frac{\ell}{2}. \end{aligned}$ Adding shows that $u\perp P,$ so $u=\frac{(\sqrt{455},-7)}{\sqrt{504}}.$ Subtracting the two dot-product equations gives $\ell=u\mathbin{\cdot}(O_2-O_1) =\frac{12\sqrt{455}}{\sqrt{504}}.$ Therefore $\ell^2=\frac{144\cdot455}{504}=130.$

1983 AIME Problema 14

Respuesta: 130

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años