Question

En un círculo de radio $42,$ dos cuerdas de longitud $78$ se cortan en un punto cuya distancia al centro es $18.$ Las dos cuerdas dividen el interior del círculo en cuatro regiones. Dos de ellas están limitadas por segmentos de longitudes distintas, y el área de cualquiera puede expresarse de manera única como $m\pi-n\sqrt d,$ donde $m,$ $n,$ y $d$ son enteros positivos y $d$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $m+n+d.$

In a circle of radius $42,$ two chords of length $78$ intersect at a point whose distance from the center is $18.$ The two chords divide the interior of the circle into four regions. Two of these regions are bordered by segments of unequal lengths, and the area of either of them can be expressed uniquely in the form $m\pi-n\sqrt d,$ where $m,$ $n,$ and $d$ are positive integers and $d$ is not divisible by the square of any prime. Find $m+n+d.$

Respuesta

Respuesta: 378

Conceptos:sector circular cuerda geometría analítica

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Cada cuerda está a $9\sqrt3$ del centro; determina las dos direcciones posibles de una recta que pase por el punto de intersección

Each chord is $9\sqrt3$ from the center, so determine the two possible line directions through the intersection point

Pista grande:

Los segmentos desiguales de las cuerdas miden $30$ y $48,$ y sus extremos subtienden $60^\circ$ en el centro

The unequal chord segments have lengths $30$ and $48,$ and their endpoints subtend $60^\circ$ at the center

Solución:

Coloca el centro en $O=(0,0)$ y la intersección en $P=(18,0).$ Una cuerda de longitud $78$ está a $9\sqrt3$ de $O,$ así que una recta por $P$ que contenga tal cuerda forma un ángulo de $60^\circ$ o $120^\circ$ con $OP.$ Resolver sobre cualquiera de las dos rectas da segmentos de longitudes $30$ y $48.$

Para cualquiera de las regiones limitadas por segmentos desiguales, los dos extremos del arco subtienden $60^\circ$ en $O.$ Su área es el sector menos $\triangle OAB$ más $\triangle PAB:$ $\begin{aligned}\frac{60}{360}\pi(42)^2&-\frac12(42)^2\sin60^\circ\\&+\frac12(30)(48)\sin60^\circ\\&=294\pi-81\sqrt3.\end{aligned}$ Por tanto, $m+n+d=378.$

Put the center at $O=(0,0)$ and the intersection at $P=(18,0).$ A length- $78$ chord is $9\sqrt3$ from $O,$ so a line through $P$ containing such a chord makes angle $60^\circ$ or $120^\circ$ with $OP.$ Solving along either line gives segment lengths $30$ and $48.$

For either region bordered by unequal segments, the two arc endpoints subtend $60^\circ$ at $O.$ Its area is the sector minus $\triangle OAB$ plus $\triangle PAB:$ $\begin{aligned}\frac{60}{360}\pi(42)^2&-\frac12(42)^2\sin60^\circ\\&+\frac12(30)(48)\sin60^\circ\\&=294\pi-81\sqrt3.\end{aligned}$ Hence $m+n+d=378.$

1995 AIME Problema 14

Respuesta: 378

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años