Question

Sea $f(n)$ el entero más cercano a $\sqrt[4]{n}.$ Halla $\sum_{k=1}^{1995}\frac1{f(k)}.$

Let $f(n)$ be the integer closest to $\sqrt[4]{n}.$ Find $\sum_{k=1}^{1995}\frac1{f(k)}.$

Respuesta

Respuesta: 400

Conceptos:radical conteo de enteros en un rango suma de los primeros n cuadrados

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Cuenta los enteros $n$ para los cuales $j-\tfrac12<\sqrt[4]n<j+\tfrac12$

Count the integers $n$ for which $j-\tfrac12<\sqrt[4]n<j+\tfrac12$

Pista grande:

El número de apariciones de $f(n)=j$ se simplifica a $4j^3+j$

The number of occurrences of $f(n)=j$ simplifies to $4j^3+j$

Solución:

Para $j\geq1,$ el número de enteros positivos $n$ para los cuales $f(n)=j$ es $\begin{aligned}\left(j+\frac12\right)^4&-\left(j-\frac12\right)^4\\&=4j^3+j.\end{aligned}$ Para $j=1,\ldots,6,$ estos representan $\sum_{j=1}^6(4j^3+j)=1785$ valores, y su contribución a la suma pedida es $\begin{aligned}\sum_{j=1}^6\frac{4j^3+j}{j}&=4\sum_{j=1}^6j^2+6\\&=370.\end{aligned}$ Los $1995-1785=210$ valores restantes tienen $f(n)=7,$ y aportan $30.$ El total es $400.$

For $j\geq1,$ the number of positive integers $n$ for which $f(n)=j$ is $\begin{aligned}\left(j+\frac12\right)^4&-\left(j-\frac12\right)^4\\&=4j^3+j.\end{aligned}$ For $j=1,\ldots,6,$ these account for $\sum_{j=1}^6(4j^3+j)=1785$ values, and their contribution to the requested sum is $\begin{aligned}\sum_{j=1}^6\frac{4j^3+j}{j}&=4\sum_{j=1}^6j^2+6\\&=370.\end{aligned}$ The remaining $1995-1785=210$ values have $f(n)=7,$ contributing $30.$ The total is $400.$

1995 AIME Problema 13

Respuesta: 400

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años