Question

Beatrix va a colocar seis torres en un tablero de ajedrez de $6 \times 6$ donde tanto las filas como las columnas están numeradas del $1$ al $6;$ las torres se colocan de modo que no haya dos torres en la misma fila o en la misma columna. El valor de una casilla es la suma de su número de fila y su número de columna. La puntuación de una disposición de torres es el menor valor de cualquier casilla ocupada. La puntuación media sobre todas las configuraciones válidas es $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $p + q.$

Beatrix is going to place six rooks on a $6 \times 6$ chessboard where both the rows and columns are labeled $1$ to $6;$ the rooks are placed so that no two rooks are in the same row or the same column. The value of a square is the sum of its row number and column number. The score of an arrangement of rooks is the least value of any occupied square. The average score over all valid configurations is $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Solución:

Hay $6! = 720$ disposiciones, y toda puntuación está entre $2$ y $7.$ Sea $b_n$ el número de disposiciones con puntuación al menos $n.$ Como cada puntuación $s$ satisface $s = 2 + \#\{n \ge 3 : s \ge n\},$ el total de las $720$ puntuaciones es $2 \cdot 720 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6 + b_7.$

Una puntuación $\ge n$ significa que ninguna torre ocupa una casilla con fila + columna $\lt n.$ Coloca las torres fila por fila. Para $b_3,$ solo $(1,1)$ está prohibida: $5 \cdot 5! = 600.$ Para $b_4,$ la fila $1$ tiene $4$ columnas permitidas, luego la fila $2$ tiene $4$ (se excluyen la columna $1$ y la columna ya usada): $4 \cdot 4 \cdot 4! = 384.$ Análogamente $b_5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3! = 162,$ $b_6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2! = 32,$ y $b_7 = 1$ (todas las torres en la antidiagonal).

El total es $1440 + 600 + 384$ $+ 162 + 32 + 1 = 2619,$ así que la media es $\frac{2619}{720} = \frac{291}{80},$ y $p + q = 291 + 80 = 371.$

There are $6! = 720$ arrangements, and every score lies between $2$ and $7.$ Let $b_n$ be the number of arrangements with score at least $n.$ Since each score $s$ satisfies $s = 2 + \#\{n \ge 3 : s \ge n\},$ the total of all $720$ scores is $2 \cdot 720 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6 + b_7.$

Score $\ge n$ means no rook occupies a square with row + column $\lt n.$ Place the rooks row by row. For $b_3,$ only $(1,1)$ is banned: $5 \cdot 5! = 600.$ For $b_4,$ row $1$ has $4$ allowed columns, then row $2$ has $4$ (column $1$ and the used column are excluded): $4 \cdot 4 \cdot 4! = 384.$ Similarly $b_5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3! = 162,$ $b_6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2! = 32,$ and $b_7 = 1$ (all rooks on the anti-diagonal).

The total is $1440 + 600 + 384$ $+ 162 + 32 + 1 = 2619,$ so the average is $\frac{2619}{720} = \frac{291}{80},$ and $p + q = 291 + 80 = 371.$

2016 AIME II Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años