Question

Cada cara de dos paralelepípedos no congruentes es un rombo cuyas diagonales tienen longitudes $\sqrt{21}$ y $\sqrt{31}.$ La razón entre el volumen del mayor de los dos poliedros y el volumen del menor es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$ Un paralelepípedo es un sólido con seis caras paralelogramas como el que se muestra a continuación.

Each face of two noncongruent parallelepipeds is a rhombus whose diagonals have lengths $\sqrt{21}$ and $\sqrt{31}.$ The ratio of the volume of the larger of the two polyhedra to the volume of the smaller is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$ A parallelepiped is a solid with six parallelogram faces such as the one shown below.

Respuesta

Solución:

Un rombo con diagonales $\sqrt{21}$ y $\sqrt{31}$ tiene lado $\sqrt{\frac{21}{4} + \frac{31}{4}} = \sqrt{13},$ así que los tres vectores de arista $\mathbf{u},$ $\mathbf{v},$ $\mathbf{w}$ tienen todos longitud al cuadrado $13.$ En la cara generada por $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ las diagonales son $\mathbf{u} \pm \mathbf{v},$ con $|\mathbf{u} \pm \mathbf{v}|^2 = 26 \pm 2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v};$ al hacer corresponder con $\{21, 31\}$ se obtiene $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \pm\frac{5}{2},$ y análogamente para los otros dos pares.

El volumen al cuadrado es el determinante de Gram $\begin{aligned} V^2 &= \det\begin{pmatrix} 13 & x & y \\ x & 13 & z \\ y & z & 13 \end{pmatrix} \\ &= 2197 - 13(x^2 + y^2 + z^2) \\ &\quad {}+ 2xyz \\ &= 2197 - \frac{975}{4} \\ &\quad {}+ 2xyz \end{aligned}$ con $x, y, z \in \left\{\pm\frac{5}{2}\right\}.$ Negar un vector de arista invierte los signos de dos de $x, y, z,$ así que solo importa el signo de $xyz$ : $2xyz = \pm\frac{125}{4},$ dando $V^2 = \frac{7938}{4}$ o $\frac{7688}{4}.$

La razón de los volúmenes es $\sqrt{\frac{7938}{7688}} = \sqrt{\frac{3969}{3844}} = \frac{63}{62},$ ya en su forma más simple, así que $m + n = 63 + 62 = 125.$

A rhombus with diagonals $\sqrt{21}$ and $\sqrt{31}$ has side $\sqrt{\frac{21}{4} + \frac{31}{4}} = \sqrt{13},$ so the three edge vectors $\mathbf{u},$ $\mathbf{v},$ $\mathbf{w}$ all have squared length $13.$ In the face spanned by $\mathbf{u}$ and $\mathbf{v}$ the diagonals are $\mathbf{u} \pm \mathbf{v},$ with $|\mathbf{u} \pm \mathbf{v}|^2 = 26 \pm 2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v};$ matching $\{21, 31\}$ gives $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \pm\frac{5}{2},$ and likewise for the other two pairs.

The squared volume is the Gram determinant $\begin{aligned} V^2 &= \det\begin{pmatrix} 13 & x & y \\ x & 13 & z \\ y & z & 13 \end{pmatrix} \\ &= 2197 - 13(x^2 + y^2 + z^2) \\ &\quad {}+ 2xyz \\ &= 2197 - \frac{975}{4} \\ &\quad {}+ 2xyz \end{aligned}$ with $x, y, z \in \left\{\pm\frac{5}{2}\right\}.$ Negating an edge vector flips the signs of two of $x, y, z,$ so only the sign of $xyz$ matters: $2xyz = \pm\frac{125}{4},$ giving $V^2 = \frac{7938}{4}$ or $\frac{7688}{4}.$

The ratio of the volumes is $\sqrt{\frac{7938}{7688}} = \sqrt{\frac{3969}{3844}} = \frac{63}{62},$ already in lowest terms, so $m + n = 63 + 62 = 125.$

2023 AIME I Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años