Solución:

La suma desde el $(k+1)$-ésimo hasta el $m$-ésimo entero impar positivo es $m^2 - k^2 = (m - k)(m + k).$ Escribiendo $a = m - k$ y $b = m + k,$ las representaciones de $N$ corresponden exactamente a las factorizaciones $N = ab$ con $a \le b$ y $a, b$ de la misma paridad (entonces $m = \frac{a + b}{2},$ $k = \frac{b - a}{2}$). Así que necesitamos que $N$ tenga exactamente $5$ tales factorizaciones.

Si $N$ es impar, todo par de divisores sirve, así que $N$ necesita $9$ o $10$ divisores, es decir $N = p^8,$ $p^9,$ $p^2q^2,$ o $pq^4$ con $p, q$ primos impares distintos. Por debajo de $1000,$ $p^8$ y $p^9$ son imposibles, $p^2 q^2$ da $225$ y $441,$ y $pq^4$ da $3^4 \cdot 5,$ $3^4 \cdot 7,$ $3^4 \cdot 11:$ cinco valores impares.

Si $N$ es par, ambos factores deben ser pares, así que $N = 4M$ y las factorizaciones corresponden a los pares de divisores de $M,$ sin restricción de paridad; necesitamos $M \lt 250$ con $9$ o $10$ divisores. Con $9$ divisores: $36,$ $100,$ $196,$ $225.$ Con $10$ divisores ($pq^4$): $3 \cdot 2^4,$ $5 \cdot 2^4,$ $7 \cdot 2^4,$ $11 \cdot 2^4,$ $13 \cdot 2^4,$ $2 \cdot 3^4.$ Eso da $4 + 6 = 10$ valores pares, para un total de $5 + 10 = 15.$