Question

Para todo $m \ge 2,$ sea $Q(m)$ el menor entero positivo con la siguiente propiedad: para todo $n \ge Q(m),$ siempre hay un cubo perfecto $k^3$ en el rango $n \lt k^3 \le m \cdot n.$ Halla el residuo cuando $\sum_{m=2}^{2017} Q(m)$ se divide entre $1000.$

For every $m \ge 2,$ let $Q(m)$ be the least positive integer with the following property: For every $n \ge Q(m),$ there is always a perfect cube $k^3$ in the range $n \lt k^3 \le m \cdot n.$ Find the remainder when $\sum_{m=2}^{2017} Q(m)$ is divided by $1000.$

Respuesta

Solución:

Si $k^3 \le n \lt (k+1)^3,$ entonces el intervalo $(n, mn]$ contiene el cubo $(k+1)^3$ siempre que $(k+1)^3 \le m k^3,$ es decir $\left(1 + \frac{1}{k}\right)^3 \le m.$ Como $\left(1 + \frac{1}{k}\right)^3 \le 8$ para todo $k \ge 1,$ todo $m \ge 8$ tiene $Q(m) = 1.$

Para $4 \le m \le 7:$ $n = 1$ falla ya que $(1, m]$ no contiene ningún cubo, pero para $n \ge 2$ el intervalo sirve: $8 \le 4n$ cubre $2 \le n \le 7,$ y $\left(1 + \frac{1}{k}\right)^3 \le \frac{27}{8} \lt 4$ cubre $k \ge 2.$ Así que $Q(4) = Q(5)$ $= Q(6) = Q(7) = 2.$ Para $m = 3:$ $n = 8$ falla (ningún cubo en $(8, 24]$ ), mientras que $27 \le 3n$ cubre $9 \le n \le 26$ y $\left(\frac{4}{3}\right)^3 \lt 3$ cubre $k \ge 3,$ así que $Q(3) = 9.$ Para $m = 2:$ $n = 31$ falla (ningún cubo en $(31, 62]$ ), mientras que $64 \le 2n$ cubre $32 \le n \le 63$ y $\left(\frac{5}{4}\right)^3 \lt 2$ cubre $k \ge 4,$ así que $Q(2) = 32.$

Por lo tanto $\begin{aligned} &\sum_{m=2}^{2017} Q(m) \\ &\quad = 32 + 9 + 4 \cdot 2 + 2010 \cdot 1 \\ &\quad = 2059, \end{aligned}$ y el residuo es $59.$

If $k^3 \le n \lt (k+1)^3,$ then the interval $(n, mn]$ contains the cube $(k+1)^3$ as long as $(k+1)^3 \le m k^3,$ i.e. $\left(1 + \frac{1}{k}\right)^3 \le m.$ Since $\left(1 + \frac{1}{k}\right)^3 \le 8$ for all $k \ge 1,$ every $m \ge 8$ has $Q(m) = 1.$

For $4 \le m \le 7:$ $n = 1$ fails since $(1, m]$ contains no cube, but for $n \ge 2$ the interval works: $8 \le 4n$ covers $2 \le n \le 7,$ and $\left(1 + \frac{1}{k}\right)^3 \le \frac{27}{8} \lt 4$ covers $k \ge 2.$ So $Q(4) = Q(5)$ $= Q(6) = Q(7) = 2.$ For $m = 3:$ $n = 8$ fails (no cube in $(8, 24]$ ), while $27 \le 3n$ covers $9 \le n \le 26$ and $\left(\frac{4}{3}\right)^3 \lt 3$ covers $k \ge 3,$ so $Q(3) = 9.$ For $m = 2:$ $n = 31$ fails (no cube in $(31, 62]$ ), while $64 \le 2n$ covers $32 \le n \le 63$ and $\left(\frac{5}{4}\right)^3 \lt 2$ covers $k \ge 4,$ so $Q(2) = 32.$

Therefore $\begin{aligned} &\sum_{m=2}^{2017} Q(m) \\ &\quad = 32 + 9 + 4 \cdot 2 + 2010 \cdot 1 \\ &\quad = 2059, \end{aligned}$ and the remainder is $59.$

2017 AIME I Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años