Question

En el triángulo $ABC,$ las medianas $\overline{AD}$ y $\overline{CE}$ tienen longitudes $18$ y $27,$ respectivamente, y $AB = 24.$ Prolongue $\overline{CE}$ hasta cortar la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $F.$ El área del triángulo $AFB$ es $m\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $m + n.$

In triangle $ABC,$ the medians $\overline{AD}$ and $\overline{CE}$ have lengths $18$ and $27,$ respectively, and $AB = 24.$ Extend $\overline{CE}$ to intersect the circumcircle of $ABC$ at $F.$ The area of triangle $AFB$ is $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Como $E$ es el punto medio de $\overline{AB},$ $AE = EB = 12.$ Sea $P$ el baricentro, que triseca las medianas: $AP = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12$ y $PE = \frac{1}{3} \cdot 27 = 9.$ Por la potencia del punto $E$ respecto a la circunferencia circunscrita, $EF \cdot EC = EA \cdot EB = 144,$ así que $EF = \frac{144}{27} = \frac{16}{3}.$

El triángulo $AEP$ es isósceles con $AE = AP = 12$ y base $PE = 9,$ así que la altura desde $A$ hacia $\overline{PE}$ es $\sqrt{144 - \frac{81}{4}} = \frac{3\sqrt{55}}{2},$ lo que da $[AEP] = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{3\sqrt{55}}{2} = \frac{27\sqrt{55}}{4}.$ Como $F$ y $P$ están ambos sobre la recta $CE,$ los triángulos $AEF$ y $AEP$ comparten el vértice $A$ y tienen bases colineales, así que $\begin{aligned} [AEF] &= \frac{EF}{EP}\,[AEP] \\ &= \frac{16/3}{9} \cdot \frac{27\sqrt{55}}{4} \\ &= 4\sqrt{55}. \end{aligned}$

Finalmente, como $E$ es el punto medio de $\overline{AB},$ $[AFB] = 2\,[AFE] = 8\sqrt{55},$ y $m + n = 8 + 55 = 63.$

Since $E$ is the midpoint of $\overline{AB},$ $AE = EB = 12.$ Let $P$ be the centroid, which trisects the medians: $AP = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12$ and $PE = \frac{1}{3} \cdot 27 = 9.$ By the power of the point $E$ with respect to the circumcircle, $EF \cdot EC = EA \cdot EB = 144,$ so $EF = \frac{144}{27} = \frac{16}{3}.$

Triangle $AEP$ is isosceles with $AE = AP = 12$ and base $PE = 9,$ so the altitude from $A$ to $\overline{PE}$ is $\sqrt{144 - \frac{81}{4}} = \frac{3\sqrt{55}}{2},$ giving $[AEP] = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{3\sqrt{55}}{2} = \frac{27\sqrt{55}}{4}.$ Since $F$ and $P$ both lie on line $CE,$ triangles $AEF$ and $AEP$ share the apex $A$ and have collinear bases, so $\begin{aligned} [AEF] &= \frac{EF}{EP}\,[AEP] \\ &= \frac{16/3}{9} \cdot \frac{27\sqrt{55}}{4} \\ &= 4\sqrt{55}. \end{aligned}$

Finally, since $E$ is the midpoint of $\overline{AB},$ $[AFB] = 2\,[AFE] = 8\sqrt{55},$ and $m + n = 8 + 55 = 63.$

2002 AIME I Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años