Question

En el triángulo

ABC,

las medianas

\overline{AD}

y

\overline{CE}

tienen longitudes

18

y

27,

respectivamente, y

AB = 24.

Prolongue

\overline{CE}

hasta cortar la circunferencia circunscrita de

ABC

en

F.

El área del triángulo

AFB

es

m\sqrt{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos y

n

no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle

m + n.

In triangle

ABC,

the medians

\overline{AD}

and

\overline{CE}

have lengths

18

and

27,

respectively, and

AB = 24.

Extend

\overline{CE}

to intersect the circumcircle of

ABC

at

F.

The area of triangle

AFB

is

m\sqrt{n},

where

m

and

n

are positive integers and

n

is not divisible by the square of any prime. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 63

Conceptos:potencia de un punto baricentro razón de áreas

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

E

es el punto medio de

\overline{AB},

así que la potencia de

E

respecto de la circunferencia da

EF \cdot EC = 12^2

E

is the midpoint of

\overline{AB},

so the power of the point

E

gives

EF \cdot EC = 12^2

Pista grande:

El baricentro

P

divide cada mediana en la razón de dos a uno, así que

AEP

tiene lados

12,

12,

y

9;

compare

AEF

y

AEP

mediante sus bases colineales en

CE

The centroid

P

divides each median two-to-one, so triangle

AEP

has side lengths

12,

12,

and

9;

compare triangles

AEF

and

AEP

using their collinear bases on

CE

Solución:

Como

E

es el punto medio de

\overline{AB},

AE = EB = 12.

Sea

P

el baricentro, que divide cada mediana en la razón de dos a uno:

AP = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12

y

PE = \frac{1}{3} \cdot 27 = 9.

Por la potencia de

E

respecto a la circunferencia circunscrita,

EF \cdot EC = EA \cdot EB = 144,

así que

EF = \frac{144}{27} = \frac{16}{3}.

El triángulo

AEP

es isósceles con

AE = AP = 12

y base

PE = 9,

así que la altura desde

A

hacia

\overline{PE}

es

\sqrt{144 - \frac{81}{4}} = \frac{3\sqrt{55}}{2},

lo que da

[AEP] = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{3\sqrt{55}}{2} = \frac{27\sqrt{55}}{4}.

Como

F

y

P

están ambos sobre la recta

CE,

los triángulos

AEF

y

AEP

comparten el vértice

A

y tienen bases colineales, así que

\begin{aligned} [AEF] &= \frac{EF}{EP}\,[AEP] \\ &= \frac{\frac{16}{3}}{9} \cdot \frac{27\sqrt{55}}{4} \\ &= 4\sqrt{55}. \end{aligned}

Finalmente, como

E

es el punto medio de

\overline{AB},

[AFB] = 2\,[AFE] = 8\sqrt{55},

y

m + n = 8 + 55 = 63.

Since

E

is the midpoint of

\overline{AB},

AE = EB = 12.

Let

P

be the centroid, which divides each median in a two-to-one ratio:

AP = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12

and

PE = \frac{1}{3} \cdot 27 = 9.

By the power of the point

E

with respect to the circumcircle,

EF \cdot EC = EA \cdot EB = 144,

so

EF = \frac{144}{27} = \frac{16}{3}.

Triangle

AEP

is isosceles with

AE = AP = 12

and base

PE = 9,

so the altitude from

A

to

\overline{PE}

is

\sqrt{144 - \frac{81}{4}} = \frac{3\sqrt{55}}{2},

giving

[AEP] = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{3\sqrt{55}}{2} = \frac{27\sqrt{55}}{4}.

Since

F

and

P

both lie on line

CE,

triangles

AEF

and

AEP

share the apex

A

and have collinear bases, so

\begin{aligned} [AEF] &= \frac{EF}{EP}\,[AEP] \\ &= \frac{\frac{16}{3}}{9} \cdot \frac{27\sqrt{55}}{4} \\ &= 4\sqrt{55}. \end{aligned}

Finally, since

E

is the midpoint of

\overline{AB},

[AFB] = 2\,[AFE] = 8\sqrt{55},

and

m + n = 8 + 55 = 63.

2002 AIME I Problema 13

Respuesta: 63

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años