Question

Sea $\triangle ABC$ con longitudes de lado $AB = 30,$ $BC = 32,$ y $AC = 34.$ El punto $X$ está en el interior de $\overline{BC},$ y los puntos $I_1$ e $I_2$ son los incentros de $\triangle ABX$ y $\triangle ACX,$ respectivamente. Halle el área mínima posible de $\triangle AI_1I_2$ cuando $X$ varía a lo largo de $\overline{BC}.$

Let $\triangle ABC$ have side lengths $AB = 30,$ $BC = 32,$ and $AC = 34.$ Point $X$ lies in the interior of $\overline{BC},$ and points $I_1$ and $I_2$ are the incenters of $\triangle ABX$ and $\triangle ACX,$ respectively. Find the minimum possible area of $\triangle AI_1I_2$ as $X$ varies along $\overline{BC}.$

Respuesta

Solución:

Como $AI_1$ y $AI_2$ bisecan los ángulos $BAX$ y $XAC,$ $\angle I_1AI_2 = \frac{1}{2}\angle BAX$ $+ \frac{1}{2}\angle XAC = \frac{A}{2},$ una constante. Sea $\alpha = \angle AXB.$ La fórmula del ángulo en el incentro da $\angle AI_1B = 90^\circ + \frac{\alpha}{2},$ así que la ley de los senos en $\triangle ABI_1$ produce $AI_1 = \frac{AB \sin\frac{B}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}},$ y de manera similar, como $\angle AXC = 180^\circ - \alpha,$ $AI_2 = \frac{AC \sin\frac{C}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}.$

Por lo tanto $\begin{aligned} &[\triangle AI_1I_2] = \frac{1}{2}\,AI_1 \cdot AI_2 \sin\frac{A}{2} \\ &= \frac{AB \cdot AC \sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}{\sin\alpha}, \end{aligned}$ que se minimiza cuando $\alpha = 90^\circ,$ es decir, cuando $X$ es el pie de la altura desde $A.$

Con $a = 32,$ $b = 34,$ $c = 30,$ y $s = 48,$ las fórmulas de semiángulo dan $\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$ $= \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc},$ así que el área mínima es $\begin{aligned} &bc \cdot \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc} \\ &= \frac{16 \cdot 14 \cdot 18}{32} = 126. \end{aligned}$

Since $AI_1$ and $AI_2$ bisect angles $BAX$ and $XAC,$ $\angle I_1AI_2 = \frac{1}{2}\angle BAX$ $+ \frac{1}{2}\angle XAC = \frac{A}{2},$ a constant. Let $\alpha = \angle AXB.$ The incenter angle formula gives $\angle AI_1B = 90^\circ + \frac{\alpha}{2},$ so the law of sines in $\triangle ABI_1$ yields $AI_1 = \frac{AB \sin\frac{B}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}},$ and similarly, since $\angle AXC = 180^\circ - \alpha,$ $AI_2 = \frac{AC \sin\frac{C}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}.$

Therefore $\begin{aligned} &[\triangle AI_1I_2] = \frac{1}{2}\,AI_1 \cdot AI_2 \sin\frac{A}{2} \\ &= \frac{AB \cdot AC \sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}{\sin\alpha}, \end{aligned}$ which is minimized when $\alpha = 90^\circ,$ that is, when $X$ is the foot of the altitude from $A.$

With $a = 32,$ $b = 34,$ $c = 30,$ and $s = 48,$ the half-angle formulas give $\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$ $= \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc},$ so the minimum area is $\begin{aligned} &bc \cdot \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc} \\ &= \frac{16 \cdot 14 \cdot 18}{32} = 126. \end{aligned}$

2018 AIME I Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años