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Soluciones del 2018 AIME I

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

Sea SS el número de pares ordenados de enteros (a,b),(a, b), con 1≤a≤1001 \le a \le 100 y b≥0,b \ge 0, tales que el polinomio x2+ax+bx^2 + ax + b puede factorizarse como producto de dos factores lineales (no necesariamente distintos) con coeficientes enteros. Halle el residuo cuando SS se divide entre 1000.1000.

Let SS be the number of ordered pairs of integers (a,b),(a, b), with 1≤a≤1001 \le a \le 100 and b≥0,b \ge 0, such that the polynomial x2+ax+bx^2 + ax + b can be factored into the product of two (not necessarily distinct) linear factors with integer coefficients. Find the remainder when SS is divided by 1000.1000.

Conceptos:cuadráticacuadrado perfectoparidad

Nivel de dificultad: 2260

Solución:

El polinomio se factoriza en factores lineales enteros exactamente cuando sus raíces son enteras, es decir, cuando el discriminante a2−4ba^2 - 4b es igual a c2c^2 para algún entero c≥0.c \ge 0. Dado a,a, tal b≥0b \ge 0 existe exactamente cuando 4b=a2−c2=(a−c)(a+c)4b = a^2 - c^2 = (a-c)(a+c) para algún cc con 0≤c≤a0 \le c \le a y c≡a(mod2),c \equiv a \pmod 2, y valores distintos de cc dan valores distintos b=a2−c24.b = \frac{a^2 - c^2}{4}.

Para aa impar los cc válidos son 1,3,…,a,1, 3, \ldots, a, que son a+12\frac{a+1}{2} opciones; para aa par son 0,2,…,a,0, 2, \ldots, a, que son a2+1\frac{a}{2} + 1 opciones.

Sumando sobre a=1,…,100:a = 1, \ldots, 100: los aa impares aportan 1+2+⋯+50=1275,1 + 2 + \cdots + 50 = 1275, y los aa pares aportan 2+3+⋯+51=1325.2 + 3 + \cdots + 51 = 1325. Así S=2600,S = 2600, y el residuo es 600.600.

The polynomial factors into integer linear factors exactly when its roots are integers, that is, when the discriminant a2−4ba^2 - 4b equals c2c^2 for some integer c≥0.c \ge 0. Given a,a, such a b≥0b \ge 0 exists exactly when 4b=a2−c2=(a−c)(a+c)4b = a^2 - c^2 = (a-c)(a+c) for some cc with 0≤c≤a0 \le c \le a and c≡a(mod2),c \equiv a \pmod 2, and distinct such cc give distinct values b=a2−c24.b = \frac{a^2 - c^2}{4}.

For odd aa the valid cc are 1,3,…,a,1, 3, \ldots, a, which is a+12\frac{a+1}{2} choices; for even aa they are 0,2,…,a,0, 2, \ldots, a, which is a2+1\frac{a}{2} + 1 choices.

Summing over a=1,…,100:a = 1, \ldots, 100: the odd aa contribute 1+2+⋯+50=1275,1 + 2 + \cdots + 50 = 1275, and the even aa contribute 2+3+⋯+51=1325.2 + 3 + \cdots + 51 = 1325. Thus S=2600,S = 2600, and the remainder is 600.600.

2.

El número nn puede escribirse en base 1414 como a‾ b‾ c‾,\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}, puede escribirse en base 1515 como a‾ c‾ b‾,\underline{a}\,\underline{c}\,\underline{b}, y puede escribirse en base 66 como a‾ c‾ a‾ c‾,\underline{a}\,\underline{c}\,\underline{a}\,\underline{c}, donde a>0.a \gt 0. Halle la representación en base 1010 de n.n.

The number nn can be written in base 1414 as a‾ b‾ c‾,\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}, can be written in base 1515 as a‾ c‾ b‾,\underline{a}\,\underline{c}\,\underline{b}, and can be written in base 66 as a‾ c‾ a‾ c‾,\underline{a}\,\underline{c}\,\underline{a}\,\underline{c}, where a>0.a \gt 0. Find the base-1010 representation of n.n.

Conceptos:base numéricavalor posicionalEcuación diofántica

Nivel de dificultad: 2180

Solución:

Escribiendo los valores posicionales, n=196a+14b+cn = 196a + 14b + c =225a+15c+b= 225a + 15c + b =222a+37c,= 222a + 37c, donde aa y cc son dígitos en base 66 con 1≤a≤51 \le a \le 5 y 0≤c≤5,0 \le c \le 5, y 0≤b≤13.0 \le b \le 13.

Igualando las dos últimas expresiones da b=22c−3a.b = 22c - 3a. Sustituir en 196a+14b+c=225a+15c+b196a + 14b + c = 225a + 15c + b (que dice 13b=29a+14c13b = 29a + 14c) produce 13(22c−3a)=29a+14c,13(22c - 3a) = 29a + 14c, así 272c=68a,272c = 68a, es decir a=4c.a = 4c. Las cotas de los dígitos obligan a c=1,c = 1, a=4,a = 4, y entonces b=22−12=10,b = 22 - 12 = 10, que es un dígito válido en las bases 1414 y 15.15.

Por lo tanto n=222⋅4+37⋅1=925.n = 222 \cdot 4 + 37 \cdot 1 = 925. En efecto 925=196⋅4+14⋅10+1,925 = 196 \cdot 4 + 14 \cdot 10 + 1, lo que confirma la forma en base 1414. La respuesta es 925.925.

Writing out the place values, n=196a+14b+cn = 196a + 14b + c =225a+15c+b= 225a + 15c + b =222a+37c,= 222a + 37c, where aa and cc are base-66 digits with 1≤a≤51 \le a \le 5 and 0≤c≤5,0 \le c \le 5, and 0≤b≤13.0 \le b \le 13.

Equating the last two expressions gives b=22c−3a.b = 22c - 3a. Substituting into 196a+14b+c=225a+15c+b196a + 14b + c = 225a + 15c + b (which says 13b=29a+14c13b = 29a + 14c) yields 13(22c−3a)=29a+14c,13(22c - 3a) = 29a + 14c, so 272c=68a,272c = 68a, that is a=4c.a = 4c. The digit bounds force c=1,c = 1, a=4,a = 4, and then b=22−12=10,b = 22 - 12 = 10, which is a valid digit in bases 1414 and 15.15.

Therefore n=222⋅4+37⋅1=925.n = 222 \cdot 4 + 37 \cdot 1 = 925. Indeed 925=196⋅4+14⋅10+1,925 = 196 \cdot 4 + 14 \cdot 10 + 1, confirming the base-1414 form. The answer is 925.925.

3.

Kathy tiene 55 cartas rojas y 55 cartas verdes. Baraja las 1010 cartas y coloca 55 de ellas en fila en un orden aleatorio. Estará contenta si y solo si todas las cartas rojas colocadas son adyacentes y todas las cartas verdes colocadas son adyacentes. Por ejemplo, los órdenes de cartas RRGGG, GGGGR o RRRRR harán que Kathy esté contenta, pero RRRGR no. La probabilidad de que Kathy esté contenta es mn,\frac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí. Halle m+n.m + n.

Kathy has 55 red cards and 55 green cards. She shuffles the 1010 cards and lays out 55 of the cards in a row in a random order. She will be happy if and only if all the red cards laid out are adjacent and all the green cards laid out are adjacent. For example, card orders RRGGG, GGGGR, or RRRRR will make Kathy happy, but RRRGR will not. The probability that Kathy will be happy is mn,\frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. Find m+n.m + n.

Conceptos:probabilidad básicaarreglos con restriccionesanálisis por casos

Nivel de dificultad: 2400

Solución:

Hay 10⋅9⋅8⋅7⋅6=3024010 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 30240 disposiciones ordenadas igualmente probables de 55 de las 1010 cartas distintas. Kathy está contenta exactamente cuando el patrón de colores consta de un bloque de rojas y un bloque de verdes: los patrones son RRRRR, GGGGG, y los ocho patrones mixtos RrG5−r\text{R}^r\text{G}^{5-r} y G5−rRr\text{G}^{5-r}\text{R}^r para r=1,2,3,4.r = 1, 2, 3, 4.

Un patrón que usa rr posiciones rojas y 5−r5 - r verdes puede llenarse de 5!(5−r)!⋅5!r!\frac{5!}{(5-r)!} \cdot \frac{5!}{r!} maneras (elecciones ordenadas de cuáles cartas rojas y cuáles verdes aparecen). Para r=5,4,3,2,1,0r = 5, 4, 3, 2, 1, 0 estos conteos son 120,120, 600,600, 1200,1200, 1200,1200, 600,600, 120.120. El número de disposiciones felices es 120+120+2 (600+1200+1200+600)=7440. \begin{aligned} &120 + 120 \\ &{}+ 2\,(600 + 1200 + 1200 + 600) \\ &{}= 7440. \end{aligned}

La probabilidad es 744030240=31126,\frac{7440}{30240} = \frac{31}{126}, así que m+n=31+126=157.m + n = 31 + 126 = 157.

There are 10⋅9⋅8⋅7⋅6=3024010 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 30240 equally likely ordered layouts of 55 of the 1010 distinct cards. Kathy is happy exactly when the color pattern consists of one block of reds and one block of greens: the patterns are RRRRR, GGGGG, and the eight mixed patterns RrG5−r\text{R}^r\text{G}^{5-r} and G5−rRr\text{G}^{5-r}\text{R}^r for r=1,2,3,4.r = 1, 2, 3, 4.

A pattern using rr red and 5−r5 - r green positions can be filled in 5!(5−r)!⋅5!r!\frac{5!}{(5-r)!} \cdot \frac{5!}{r!} ways (ordered choices of which red cards and which green cards appear). For r=5,4,3,2,1,0r = 5, 4, 3, 2, 1, 0 these counts are 120,120, 600,600, 1200,1200, 1200,1200, 600,600, 120.120. The happy layouts number 120+120+2 (600+1200+1200+600)=7440. \begin{aligned} &120 + 120 \\ &{}+ 2\,(600 + 1200 + 1200 + 600) \\ &{}= 7440. \end{aligned}

The probability is 744030240=31126,\frac{7440}{30240} = \frac{31}{126}, so m+n=31+126=157.m + n = 31 + 126 = 157.

4.

En △ABC,\triangle ABC, AB=AC=10AB = AC = 10 y BC=12.BC = 12. El punto DD está estrictamente entre AA y BB sobre AB‾\overline{AB} y el punto EE está estrictamente entre AA y CC sobre AC‾\overline{AC} de modo que AD=DE=EC.AD = DE = EC. Entonces ADAD puede expresarse en la forma pq,\frac{p}{q}, donde pp y qq son enteros positivos primos entre sí. Halle p+q.p + q.

In △ABC,\triangle ABC, AB=AC=10AB = AC = 10 and BC=12.BC = 12. Point DD lies strictly between AA and BB on AB‾\overline{AB} and point EE lies strictly between AA and CC on AC‾\overline{AC} so that AD=DE=EC.AD = DE = EC. Then ADAD can be expressed in the form pq,\frac{p}{q}, where pp and qq are relatively prime positive integers. Find p+q.p + q.

Conceptos:ley de los cosenostriángulo isósceles

Nivel de dificultad: 2410

Solución:

Por la ley de los cosenos en △ABC,\triangle ABC, cos⁡A=102+102−1222⋅10⋅10=56200=725. \begin{aligned} \cos A &= \frac{10^2 + 10^2 - 12^2}{2 \cdot 10 \cdot 10} \\ &= \frac{56}{200} = \frac{7}{25}. \end{aligned}

Sea x=AD=DE=EC,x = AD = DE = EC, de modo que AE=10−x.AE = 10 - x. La ley de los cosenos en △ADE\triangle ADE da x2=x2+(10−x)2−2x(10−x)⋅725, \begin{aligned} &x^2 = x^2 + (10 - x)^2 \\ &\quad {}- 2x(10 - x)\cdot\frac{7}{25}, \end{aligned} así (10−x)2=1425 x(10−x).(10 - x)^2 = \frac{14}{25}\,x(10 - x). Como x<10,x \lt 10, podemos dividir entre 10−x10 - x para obtener 10−x=14x25,10 - x = \frac{14x}{25}, de donde 250=39x250 = 39x y x=25039.x = \frac{250}{39}.

Como gcd⁡(250,39)=1,\gcd(250, 39) = 1, la respuesta es 250+39=289.250 + 39 = 289.

By the law of cosines in △ABC,\triangle ABC, cos⁡A=102+102−1222⋅10⋅10=56200=725. \begin{aligned} \cos A &= \frac{10^2 + 10^2 - 12^2}{2 \cdot 10 \cdot 10} \\ &= \frac{56}{200} = \frac{7}{25}. \end{aligned}

Let x=AD=DE=EC,x = AD = DE = EC, so AE=10−x.AE = 10 - x. The law of cosines in △ADE\triangle ADE gives x2=x2+(10−x)2−2x(10−x)⋅725, \begin{aligned} &x^2 = x^2 + (10 - x)^2 \\ &\quad {}- 2x(10 - x)\cdot\frac{7}{25}, \end{aligned} so (10−x)2=1425 x(10−x).(10 - x)^2 = \frac{14}{25}\,x(10 - x). Since x<10,x \lt 10, we may divide by 10−x10 - x to get 10−x=14x25,10 - x = \frac{14x}{25}, hence 250=39x250 = 39x and x=25039.x = \frac{250}{39}.

As gcd⁡(250,39)=1,\gcd(250, 39) = 1, the answer is 250+39=289.250 + 39 = 289.

5.

Para cada par ordenado de números reales (x,y)(x, y) que satisface log⁡2(2x+y)=log⁡4(x2+xy+7y2), \begin{aligned} &\log_2(2x + y) \\ &= \log_4(x^2 + xy + 7y^2), \end{aligned} existe un número real KK tal que log⁡3(3x+y)=log⁡9(3x2+4xy+Ky2). \begin{aligned} &\log_3(3x + y) \\ &= \log_9(3x^2 + 4xy + Ky^2). \end{aligned} Halle el producto de todos los posibles valores de K.K.

For each ordered pair of real numbers (x,y)(x, y) satisfying log⁡2(2x+y)=log⁡4(x2+xy+7y2), \begin{aligned} &\log_2(2x + y) \\ &= \log_4(x^2 + xy + 7y^2), \end{aligned} there is a real number KK such that log⁡3(3x+y)=log⁡9(3x2+4xy+Ky2). \begin{aligned} &\log_3(3x + y) \\ &= \log_9(3x^2 + 4xy + Ky^2). \end{aligned} Find the product of all possible values of K.K.

Conceptos:logaritmofactorizaciónanálisis por casos

Nivel de dificultad: 2510

Solución:

Como log⁡4u=log⁡2u,\log_4 u = \log_2 \sqrt{u}, la primera ecuación es equivalente a (2x+y)2=x2+xy+7y2(2x + y)^2 = x^2 + xy + 7y^2 junto con 2x+y>0.2x + y \gt 0. Al expandir se obtiene 3x2+3xy−6y2=0,3x^2 + 3xy - 6y^2 = 0, que se factoriza como 3(x−y)(x+2y)=0.3(x - y)(x + 2y) = 0. Así x=yx = y o x=−2y,x = -2y, con (x,y)≠(0,0).(x, y) \ne (0, 0).

De manera similar, la segunda ecuación dice (3x+y)2=3x2+4xy+Ky2,(3x + y)^2 = 3x^2 + 4xy + Ky^2, es decir 6x2+2xy+y2=Ky2.6x^2 + 2xy + y^2 = Ky^2. Si x=yx = y (tomando x>0x \gt 0 para que ambos logaritmos estén definidos), entonces K=6+2+1=9.K = 6 + 2 + 1 = 9. Si x=−2yx = -2y (tomando y<0,y \lt 0, de modo que 2x+y=−3y>02x + y = -3y \gt 0 y 3x+y=−5y>03x + y = -5y \gt 0), entonces 24y2−4y2+y2=Ky2,24y^2 - 4y^2 + y^2 = Ky^2, así K=21.K = 21.

Ambos casos ocurren, así que el producto de todos los valores posibles es 9⋅21=189.9 \cdot 21 = 189.

Because log⁡4u=log⁡2u,\log_4 u = \log_2 \sqrt{u}, the first equation is equivalent to (2x+y)2=x2+xy+7y2(2x + y)^2 = x^2 + xy + 7y^2 together with 2x+y>0.2x + y \gt 0. Expanding gives 3x2+3xy−6y2=0,3x^2 + 3xy - 6y^2 = 0, which factors as 3(x−y)(x+2y)=0.3(x - y)(x + 2y) = 0. So x=yx = y or x=−2y,x = -2y, with (x,y)≠(0,0).(x, y) \ne (0, 0).

Similarly the second equation says (3x+y)2=3x2+4xy+Ky2,(3x + y)^2 = 3x^2 + 4xy + Ky^2, that is 6x2+2xy+y2=Ky2.6x^2 + 2xy + y^2 = Ky^2. If x=yx = y (taking x>0x \gt 0 so both logarithms are defined), then K=6+2+1=9.K = 6 + 2 + 1 = 9. If x=−2yx = -2y (taking y<0,y \lt 0, so 2x+y=−3y>02x + y = -3y \gt 0 and 3x+y=−5y>03x + y = -5y \gt 0), then 24y2−4y2+y2=Ky2,24y^2 - 4y^2 + y^2 = Ky^2, so K=21.K = 21.

Both cases occur, so the product of all possible values is 9⋅21=189.9 \cdot 21 = 189.

6.

Sea NN el número de números complejos zz con las propiedades de que ∣z∣=1|z| = 1 y z6!−z5!z^{6!} - z^{5!} es un número real. Halle el residuo cuando NN se divide entre 1000.1000.

Let NN be the number of complex numbers zz with the properties that ∣z∣=1|z| = 1 and z6!−z5!z^{6!} - z^{5!} is a real number. Find the remainder when NN is divided by 1000.1000.

Conceptos:número complejotrigonometríaanálisis por casos

Nivel de dificultad: 2720

Solución:

Escriba z=eiθz = e^{i\theta} con θ∈[0,2π).\theta \in [0, 2\pi). Entonces z720−z120z^{720} - z^{120} es real exactamente cuando sin⁡720θ=sin⁡120θ,\sin 720\theta = \sin 120\theta, lo cual ocurre cuando los ángulos son iguales o suplementarios módulo 2π:2\pi: o bien 720θ=120θ+2πk,720\theta = 120\theta + 2\pi k, dando θ=πk300,\theta = \frac{\pi k}{300}, o bien 720θ=π−120θ+2πk,720\theta = \pi - 120\theta + 2\pi k, dando θ=(2k+1)π840.\theta = \frac{(2k+1)\pi}{840}.

La primera familia tiene 600600 valores en [0,2π)[0, 2\pi) y la segunda tiene 840.840. No pueden coincidir: πk300=(2j+1)π840\frac{\pi k}{300} = \frac{(2j+1)\pi}{840} daría 14k=5(2j+1),14k = 5(2j + 1), igualando un número par con uno impar.

Por lo tanto N=600+840=1440,N = 600 + 840 = 1440, y el residuo es 440.440.

Write z=eiθz = e^{i\theta} with θ∈[0,2π).\theta \in [0, 2\pi). Then z720−z120z^{720} - z^{120} is real exactly when sin⁡720θ=sin⁡120θ,\sin 720\theta = \sin 120\theta, which happens when the angles are equal or supplementary modulo 2π:2\pi: either 720θ=120θ+2πk,720\theta = 120\theta + 2\pi k, giving θ=πk300,\theta = \frac{\pi k}{300}, or 720θ=π−120θ+2πk,720\theta = \pi - 120\theta + 2\pi k, giving θ=(2k+1)π840.\theta = \frac{(2k+1)\pi}{840}.

The first family has 600600 values in [0,2π)[0, 2\pi) and the second has 840.840. They cannot coincide: πk300=(2j+1)π840\frac{\pi k}{300} = \frac{(2j+1)\pi}{840} would give 14k=5(2j+1),14k = 5(2j + 1), equating an even number with an odd one.

Hence N=600+840=1440,N = 600 + 840 = 1440, and the remainder is 440.440.

7.

Un prisma hexagonal recto tiene altura 2.2. Las bases son hexágonos regulares con longitud de lado 1.1. Cualesquiera 33 de los 1212 vértices determinan un triángulo. Halle el número de estos triángulos que son isósceles (incluyendo los triángulos equiláteros).

A right hexagonal prism has height 2.2. The bases are regular hexagons with side length 1.1. Any 33 of the 1212 vertices determine a triangle. Find the number of these triangles that are isosceles (including equilateral triangles).

Conceptos:conteo de figuras en diagramasGeometría 3Danálisis por casos

Nivel de dificultad: 2840

Solución:

Las cuerdas de un hexágono regular unitario tienen longitudes 1,1, 3,\sqrt{3}, y 2.2. Entre los (63)=20\binom{6}{3} = 20 triángulos de un hexágono, 66 tienen lados 1,1,31, 1, \sqrt{3} y 22 son equiláteros con lado 3;\sqrt{3}; los otros 12,12, con lados 1,3,2,1, \sqrt{3}, 2, son escalenos. Así cada base aporta 88 triángulos isósceles, para 1616 en total.

En caso contrario, dos vértices están en una base (22 elecciones de esa base) y uno en la otra. Un vértice de la base superior a distancia horizontal dd de un vértice inferior está a distancia d2+4≥2\sqrt{d^2 + 4} \ge 2 de él. Si el par inferior es adyacente (cuerda 11): la mediatriz de una arista del hexágono no pasa por ningún vértice, y ningún lado inclinado puede ser igual a 1,1, así que no hay triángulos isósceles. Si el par tiene un vértice entre ellos (cuerda 3,\sqrt{3}, 66 pares): los vértices superiores sobre ese vértice intermedio y sobre el vértice opuesto son equidistantes del par, dando 6⋅2=12.6 \cdot 2 = 12. Si el par es diametralmente opuesto (cuerda 2,2, 33 pares): ningún vértice está sobre la mediatriz, pero el vértice superior directamente sobre cualquiera de los extremos da un lado inclinado 0+4=2\sqrt{0 + 4} = 2 igual a la cuerda, dando 3⋅2=6.3 \cdot 2 = 6.

El total es 16+2 (12+6)=52.16 + 2\,(12 + 6) = 52.

The chords of a unit regular hexagon have lengths 1,1, 3,\sqrt{3}, and 2.2. Among the (63)=20\binom{6}{3} = 20 triangles in one hexagon, 66 have sides 1,1,31, 1, \sqrt{3} and 22 are equilateral with side 3;\sqrt{3}; the other 12,12, with sides 1,3,2,1, \sqrt{3}, 2, are scalene. So each base contributes 88 isosceles triangles, for 1616 in all.

Otherwise two vertices lie on one base (22 choices of that base) and one on the other. A vertex of the top base at horizontal distance dd from a bottom vertex is at distance d2+4≥2\sqrt{d^2 + 4} \ge 2 from it. If the bottom pair is adjacent (chord 11): the perpendicular bisector of a hexagon edge passes through no vertices, and no slant side can equal 1,1, so there are no isosceles triangles. If the pair has one vertex between them (chord 3,\sqrt{3}, 66 pairs): the top vertices above that middle vertex and above the opposite vertex are equidistant from the pair, giving 6⋅2=12.6 \cdot 2 = 12. If the pair is diametrically opposite (chord 2,2, 33 pairs): no vertex lies above the perpendicular bisector, but the top vertex directly above either endpoint gives a slant side 0+4=2\sqrt{0 + 4} = 2 equal to the chord, giving 3⋅2=6.3 \cdot 2 = 6.

The total is 16+2 (12+6)=52.16 + 2\,(12 + 6) = 52.

8.

Sea ABCDEFABCDEF un hexágono equiángulo tal que AB=6,AB = 6, BC=8,BC = 8, CD=10,CD = 10, y DE=12.DE = 12. Denote por dd el diámetro del mayor círculo que cabe dentro del hexágono. Halle d2.d^2.

Let ABCDEFABCDEF be an equiangular hexagon such that AB=6,AB = 6, BC=8,BC = 8, CD=10,CD = 10, and DE=12.DE = 12. Denote by dd the diameter of the largest circle that fits inside the hexagon. Find d2.d^2.

Conceptos:polígono equiángulorectas paralelasoptimización

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Todos los ángulos interiores son 120∘,120^\circ, así que los lados opuestos son paralelos. Adjuntar triángulos equiláteros a dos lados opuestos produce un paralelogramo, lo que obliga a AB+BC=DE+EFAB + BC = DE + EF y FA+AB=CD+DE.FA + AB = CD + DE. Por lo tanto EF=2EF = 2 y FA=16.FA = 16.

Caminar de un lado al lado opuesto a lo largo de los dos lados que los conectan muestra que la distancia entre un par de lados opuestos es 32\frac{\sqrt{3}}{2} veces la suma de esos dos lados conectores: las franjas tienen anchos 32(BC+CD)=93\frac{\sqrt{3}}{2}(BC + CD) = 9\sqrt{3} entre ABAB y DE,DE, 32(CD+DE)=113\frac{\sqrt{3}}{2}(CD + DE) = 11\sqrt{3} entre BCBC y EF,EF, y 32(DE+EF)=73\frac{\sqrt{3}}{2}(DE + EF) = 7\sqrt{3} entre CDCD y FA.FA. Cualquier círculo dentro del hexágono cabe en la franja más estrecha, así que d≤73.d \le 7\sqrt{3}.

Un círculo de diámetro 737\sqrt{3} tangente a las rectas CDCD y FAFA puede centrarse de modo que también toque DEDE exactamente y tenga distancias 63,6\sqrt{3}, 53,5\sqrt{3}, y 1132\frac{11\sqrt{3}}{2} a las rectas EF,EF, BC,BC, y AB,AB, todas mayores que su radio 732,\frac{7\sqrt{3}}{2}, así que cabe dentro del hexágono. Por lo tanto d=73d = 7\sqrt{3} y d2=147.d^2 = 147.

All interior angles are 120∘,120^\circ, so opposite sides are parallel. Attaching equilateral triangles to two opposite sides produces a parallelogram, which forces AB+BC=DE+EFAB + BC = DE + EF and FA+AB=CD+DE.FA + AB = CD + DE. Hence EF=2EF = 2 and FA=16.FA = 16.

Walking from one side to the opposite side along the two connecting sides shows that the distance between a pair of opposite sides is 32\frac{\sqrt{3}}{2} times the sum of those two connecting sides: the strips have widths 32(BC+CD)=93\frac{\sqrt{3}}{2}(BC + CD) = 9\sqrt{3} between ABAB and DE,DE, 32(CD+DE)=113\frac{\sqrt{3}}{2}(CD + DE) = 11\sqrt{3} between BCBC and EF,EF, and 32(DE+EF)=73\frac{\sqrt{3}}{2}(DE + EF) = 7\sqrt{3} between CDCD and FA.FA. Any circle inside the hexagon fits in the narrowest strip, so d≤73.d \le 7\sqrt{3}.

A circle of diameter 737\sqrt{3} tangent to lines CDCD and FAFA can be centered so that it also touches DEDE exactly and has distances 63,6\sqrt{3}, 53,5\sqrt{3}, and 1132\frac{11\sqrt{3}}{2} from lines EF,EF, BC,BC, and AB,AB, all more than its radius 732,\frac{7\sqrt{3}}{2}, so it fits inside the hexagon. Therefore d=73d = 7\sqrt{3} and d2=147.d^2 = 147.

9.

Halle el número de subconjuntos de cuatro elementos de {1,2,3,4,…,20}\{1, 2, 3, 4, \ldots, 20\} con la propiedad de que dos elementos distintos del subconjunto tienen suma 16,16, y dos elementos distintos del subconjunto tienen suma 24.24. Por ejemplo, {3,5,13,19}\{3, 5, 13, 19\} y {6,10,20,18}\{6, 10, 20, 18\} son dos de tales subconjuntos.

Find the number of four-element subsets of {1,2,3,4,…,20}\{1, 2, 3, 4, \ldots, 20\} with the property that two distinct elements of the subset have a sum of 16,16, and two distinct elements of the subset have a sum of 24.24. For example, {3,5,13,19}\{3, 5, 13, 19\} and {6,10,20,18}\{6, 10, 20, 18\} are two such subsets.

Conceptos:subconjuntosconteo de paresanálisis por casos

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Los pares de elementos distintos que suman 1616 son {1,15},{2,14},…,{7,9}\{1,15\}, \{2,14\}, \ldots, \{7,9\} (siete pares), y los que suman 2424 son {4,20},{5,19},…,{11,13}\{4,20\}, \{5,19\}, \ldots, \{11,13\} (ocho pares). Primero contamos los subconjuntos que contienen un 1616-par y un 2424-par disjuntos. De las 7⋅8=567 \cdot 8 = 56 combinaciones, las que comparten un elemento xx requieren que 16−x,16 - x, x,x, y 24−x24 - x sean todos válidos, lo que ocurre para los 1010 valores x∈{4,…,15}x \in \{4, \ldots, 15\} distintos de 88 y 12.12. Ningún conjunto de cuatro elementos surge de dos combinaciones disjuntas diferentes (una segunda descomposición obligaría a que un 1616-par coincida con un 2424-par), así que este caso da 56−10=4656 - 10 = 46 subconjuntos.

En los subconjuntos restantes cada 1616-par corta a cada 2424-par, así que algún centro aa tiene tanto b=16−ab = 16 - a como c=24−ac = 24 - a en el subconjunto. Hay 1010 centros posibles (a∈{4,…,15}a \in \{4, \ldots, 15\} con a≠8,12a \ne 8, 12), y el cuarto elemento puede ser cualquiera de los 1717 números restantes, dando 170170 conteos centro–subconjunto. Exactamente 66 subconjuntos admiten dos centros y se cuentan dos veces: {1,7,9,15},\{1,7,9,15\}, {2,6,10,14},\{2,6,10,14\}, {3,5,11,13},\{3,5,11,13\}, {5,11,13,19},\{5,11,13,19\}, {6,10,14,18},\{6,10,14,18\}, y {7,9,15,17}.\{7,9,15,17\}. Este caso da 170−6=164170 - 6 = 164 subconjuntos, ninguno de los cuales contiene pares disjuntos.

El total es 46+164=210.46 + 164 = 210.

The pairs of distinct elements summing to 1616 are {1,15},{2,14},…,{7,9}\{1,15\}, \{2,14\}, \ldots, \{7,9\} (seven pairs), and those summing to 2424 are {4,20},{5,19},…,{11,13}\{4,20\}, \{5,19\}, \ldots, \{11,13\} (eight pairs). First count subsets containing a 1616-pair and a 2424-pair that are disjoint. Of the 7⋅8=567 \cdot 8 = 56 combinations, the ones sharing an element xx require 16−x,16 - x, x,x, and 24−x24 - x all to be valid, which happens for the 1010 values x∈{4,…,15}x \in \{4, \ldots, 15\} other than 88 and 12.12. No four-element set arises from two different disjoint combinations (a second decomposition would force a 1616-pair to coincide with a 2424-pair), so this case gives 56−10=4656 - 10 = 46 subsets.

In the remaining subsets every 1616-pair meets every 2424-pair, so some center aa has both b=16−ab = 16 - a and c=24−ac = 24 - a in the subset. There are 1010 possible centers (a∈{4,…,15}a \in \{4, \ldots, 15\} with a≠8,12a \ne 8, 12), and the fourth element can be any of the 1717 remaining numbers, giving 170170 center–subset counts. Exactly 66 subsets admit two centers and are counted twice: {1,7,9,15},\{1,7,9,15\}, {2,6,10,14},\{2,6,10,14\}, {3,5,11,13},\{3,5,11,13\}, {5,11,13,19},\{5,11,13,19\}, {6,10,14,18},\{6,10,14,18\}, and {7,9,15,17}.\{7,9,15,17\}. This case gives 170−6=164170 - 6 = 164 subsets, none of which contain disjoint pairs.

The total is 46+164=210.46 + 164 = 210.

10.

La rueda que se muestra a continuación consta de dos círculos y cinco radios, con una etiqueta en cada punto donde un radio se encuentra con un círculo. Un insecto camina a lo largo de la rueda, empezando en el punto A.A. En cada paso del proceso, el insecto camina de un punto etiquetado a un punto etiquetado adyacente. A lo largo del círculo interior el insecto solo camina en sentido antihorario, y a lo largo del círculo exterior el insecto solo camina en sentido horario. Por ejemplo, el insecto podría recorrer el camino AJABCHCHIJA,AJABCHCHIJA, que tiene 1010 pasos. Sea nn el número de caminos con 1515 pasos que empiezan y terminan en el punto A.A. Halle el residuo cuando nn se divide entre 1000.1000.

The wheel shown below consists of two circles and five spokes, with a label at each point where a spoke meets a circle. A bug walks along the wheel, starting at point A.A. At every step of the process, the bug walks from one labeled point to an adjacent labeled point. Along the inner circle the bug only walks in a counterclockwise direction, and along the outer circle the bug only walks in a clockwise direction. For example, the bug could travel along the path AJABCHCHIJA,AJABCHCHIJA, which has 1010 steps. Let nn be the number of paths with 1515 steps that begin and end at point A.A. Find the remainder when nn is divided by 1000.1000.

Conceptos:biyeccióncombinacionesinvariante

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Desde cualquier punto interior el insecto tiene exactamente dos movimientos, en sentido antihorario a lo largo del círculo interior o hacia afuera por un radio; desde cualquier punto exterior tiene exactamente dos, en sentido horario a lo largo del círculo exterior o hacia adentro por un radio. Llame a un movimiento XX si es antihorario o hacia adentro y YY si es horario o hacia afuera. Entonces cada cadena en {X,Y}15\{X, Y\}^{15} describe exactamente un camino de 1515 pasos desde A.A.

Un paso llega al círculo interior exactamente cuando es una X,X, así que el camino termina en el círculo interior exactamente cuando su último movimiento es una X;X; en ese caso los números de movimientos hacia adentro y hacia afuera son iguales. Midiendo la posición angular en quintos de vuelta (antihorario +1,+1, horario −1,-1, radios 00), el camino regresa a AA exactamente cuando termina en el círculo interior y la rotación neta es un múltiplo de 5,5, es decir, cuando el último movimiento es XX y #X−#Y≡0(mod5).\#X - \#Y \equiv 0 \pmod 5. Con 1515 movimientos esto significa que el número de XX es 5,5, 10,10, o 15.15.

Fijando el último movimiento como X,X, los primeros 1414 movimientos contienen 4,4, 9,9, o 1414 copias de X,X, por lo que n=(144)+(149)+(1414)=1001+2002+1=3004, \begin{aligned} n &= \binom{14}{4} + \binom{14}{9} + \binom{14}{14} \\ &= 1001 + 2002 + 1 = 3004, \end{aligned} y el residuo es 4.4.

From any inner point the bug has exactly two moves, counterclockwise along the inner circle or outward along a spoke; from any outer point it has exactly two, clockwise along the outer circle or inward along a spoke. Call a move XX if it is counterclockwise or inward and YY if it is clockwise or outward. Then every string in {X,Y}15\{X, Y\}^{15} describes exactly one 1515-step path from A.A.

A step arrives on the inner circle exactly when it is an X,X, so the path ends on the inner circle exactly when its last move is an X;X; in that case the numbers of inward and outward moves are equal. Measuring angular position in fifths of a turn (counterclockwise +1,+1, clockwise −1,-1, spokes 00), the path returns to AA exactly when it ends on the inner circle and the net rotation is a multiple of 5,5, that is, when the last move is XX and #X−#Y≡0(mod5).\#X - \#Y \equiv 0 \pmod 5. With 1515 moves this means the number of XXs is 5,5, 10,10, or 15.15.

Fixing the last move as X,X, the first 1414 moves contain 4,4, 9,9, or 1414 XXs, so n=(144)+(149)+(1414)=1001+2002+1=3004, \begin{aligned} n &= \binom{14}{4} + \binom{14}{9} + \binom{14}{14} \\ &= 1001 + 2002 + 1 = 3004, \end{aligned} and the remainder is 4.4.

11.

Halle el menor entero positivo nn tal que cuando 3n3^n se escribe en base 143,143, sus dos dígitos más a la derecha en base 143143 son 01.01.

Find the least positive integer nn such that when 3n3^n is written in base 143,143, its two right-most digits in base 143143 are 01.01.

Conceptos:orden multiplicativoaritmética modularteorema del binomiomínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Los dos últimos dígitos en base 143143 son 0101 exactamente cuando 3n≡1(mod1432),3^n \equiv 1 \pmod{143^2}, y como 1432=112⋅132,143^2 = 11^2 \cdot 13^2, esto se cumple exactamente cuando 3n≡13^n \equiv 1 módulo tanto 11211^2 como 132.13^2.

Módulo 121:121: 35=243=2⋅121+1≡1,3^5 = 243 = 2 \cdot 121 + 1 \equiv 1, y como 55 es primo y 3≢1,3 \not\equiv 1, el orden de 33 es exactamente 5.5. Módulo 169:169: el orden de 33 módulo 1313 es 3,3, así que el orden módulo 169169 es un múltiplo de 3.3. Escribiendo 33=27=1+263^3 = 27 = 1 + 26 y notando que 262=4⋅169≡0(mod169),26^2 = 4 \cdot 169 \equiv 0 \pmod{169}, el teorema del binomio da 33k=(1+26)k3^{3k} = (1 + 26)^k ≡1+26k(mod169),\equiv 1 + 26k \pmod{169}, que es 11 exactamente cuando 13∣k.13 \mid k. Así el orden de 33 módulo 169169 es 39.39.

Por lo tanto nn debe ser un múltiplo común de 55 y 39,39, y el menor es lcm⁡(5,39)=195.\operatorname{lcm}(5, 39) = 195.

The last two base-143143 digits are 0101 exactly when 3n≡1(mod1432),3^n \equiv 1 \pmod{143^2}, and since 1432=112⋅132,143^2 = 11^2 \cdot 13^2, this holds exactly when 3n≡13^n \equiv 1 modulo both 11211^2 and 132.13^2.

Modulo 121:121: 35=243=2⋅121+1≡1,3^5 = 243 = 2 \cdot 121 + 1 \equiv 1, and since 55 is prime and 3≢1,3 \not\equiv 1, the order of 33 is exactly 5.5. Modulo 169:169: the order of 33 modulo 1313 is 3,3, so the order modulo 169169 is a multiple of 3.3. Writing 33=27=1+263^3 = 27 = 1 + 26 and noting 262=4⋅169≡0(mod169),26^2 = 4 \cdot 169 \equiv 0 \pmod{169}, the binomial theorem gives 33k=(1+26)k3^{3k} = (1 + 26)^k ≡1+26k(mod169),\equiv 1 + 26k \pmod{169}, which is 11 exactly when 13∣k.13 \mid k. So the order of 33 modulo 169169 is 39.39.

Therefore nn must be a common multiple of 55 and 39,39, and the least is lcm⁡(5,39)=195.\operatorname{lcm}(5, 39) = 195.

12.

Para cada subconjunto TT de U={1,2,3,…,18},U = \{1, 2, 3, \ldots, 18\}, sea s(T)s(T) la suma de los elementos de T,T, con s(∅)s(\emptyset) definido como 0.0. Si TT se elige al azar entre todos los subconjuntos de U,U, la probabilidad de que s(T)s(T) sea divisible entre 33 es mn,\frac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí. Halle m.m.

For each subset TT of U={1,2,3,…,18},U = \{1, 2, 3, \ldots, 18\}, let s(T)s(T) be the sum of the elements of T,T, with s(∅)s(\emptyset) defined to be 0.0. If TT is chosen at random among all subsets of U,U, the probability that s(T)s(T) is divisible by 33 is mn,\frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. Find m.m.

Conceptos:subconjuntosaritmética modularcombinacionesConvolución de Vandermonde

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

El conjunto UU contiene seis elementos en cada clase de residuo módulo 3.3. Si TT contiene aa elementos ≡1\equiv 1 y bb elementos ≡2(mod3),\equiv 2 \pmod 3, entonces s(T)≡a+2b≡a−b(mod3),s(T) \equiv a + 2b \equiv a - b \pmod 3, así que 3∣s(T)3 \mid s(T) exactamente cuando a≡b(mod3);a \equiv b \pmod 3; los seis múltiplos de 33 pueden incluirse libremente, aportando un factor 262^6 tanto a los conteos favorables como a los totales.

Por la identidad de Vandermonde, el número de maneras de elegir las aa y las bb con a−b=0a - b = 0 es ∑a(6a)2=(126)=924;\sum_a \binom{6}{a}^2 = \binom{12}{6} = 924; con a−b=±3a - b = \pm 3 es 2∑a(6a)(6a−3)=2(129)=440;2\sum_a \binom{6}{a}\binom{6}{a - 3} = 2\binom{12}{9} = 440; y con a−b=±6a - b = \pm 6 es 2.2. Las elecciones favorables suman 924+440+2=1366924 + 440 + 2 = 1366 de un total de 212.2^{12}.

La probabilidad es 13664096=6832048,\frac{1366}{4096} = \frac{683}{2048}, que está en su mínima expresión ya que 683683 es impar. Así m=683.m = 683.

The set UU contains six elements in each residue class modulo 3.3. If TT contains aa elements ≡1\equiv 1 and bb elements ≡2(mod3),\equiv 2 \pmod 3, then s(T)≡a+2b≡a−b(mod3),s(T) \equiv a + 2b \equiv a - b \pmod 3, so 3∣s(T)3 \mid s(T) exactly when a≡b(mod3);a \equiv b \pmod 3; the six multiples of 33 may be included freely, contributing a factor 262^6 to both the favorable and total counts.

By Vandermonde's identity, the number of ways to choose the aas and bbs with a−b=0a - b = 0 is ∑a(6a)2=(126)=924;\sum_a \binom{6}{a}^2 = \binom{12}{6} = 924; with a−b=±3a - b = \pm 3 it is 2∑a(6a)(6a−3)=2(129)=440;2\sum_a \binom{6}{a}\binom{6}{a - 3} = 2\binom{12}{9} = 440; and with a−b=±6a - b = \pm 6 it is 2.2. The favorable choices number 924+440+2=1366924 + 440 + 2 = 1366 out of 212.2^{12}.

The probability is 13664096=6832048,\frac{1366}{4096} = \frac{683}{2048}, which is in lowest terms since 683683 is odd. Thus m=683.m = 683.

13.

Sea △ABC\triangle ABC con longitudes de lado AB=30,AB = 30, BC=32,BC = 32, y AC=34.AC = 34. El punto XX está en el interior de BC‾,\overline{BC}, y los puntos I1I_1 e I2I_2 son los incentros de △ABX\triangle ABX y △ACX,\triangle ACX, respectivamente. Halle el área mínima posible de △AI1I2\triangle AI_1I_2 cuando XX varía a lo largo de BC‾.\overline{BC}.

Let △ABC\triangle ABC have side lengths AB=30,AB = 30, BC=32,BC = 32, and AC=34.AC = 34. Point XX lies in the interior of BC‾,\overline{BC}, and points I1I_1 and I2I_2 are the incenters of △ABX\triangle ABX and △ACX,\triangle ACX, respectively. Find the minimum possible area of △AI1I2\triangle AI_1I_2 as XX varies along BC‾.\overline{BC}.

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradioley de los senosidentidad trigonométricaoptimización

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Como AI1AI_1 y AI2AI_2 bisecan los ángulos BAXBAX y XAC,XAC, ∠I1AI2=12∠BAX\angle I_1AI_2 = \frac{1}{2}\angle BAX +12∠XAC=A2,+ \frac{1}{2}\angle XAC = \frac{A}{2}, una constante. Sea α=∠AXB.\alpha = \angle AXB. La fórmula del ángulo en el incentro da ∠AI1B=90∘+α2,\angle AI_1B = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}, así que la ley de los senos en △ABI1\triangle ABI_1 produce AI1=ABsin⁡B2cos⁡α2,AI_1 = \frac{AB \sin\frac{B}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}, y de manera similar, como ∠AXC=180∘−α,\angle AXC = 180^\circ - \alpha, AI2=ACsin⁡C2sin⁡α2.AI_2 = \frac{AC \sin\frac{C}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}.

Por lo tanto [△AI1I2]=12 AI1⋅AI2sin⁡A2=AB⋅ACsin⁡A2sin⁡B2sin⁡C2sin⁡α, \begin{aligned} &[\triangle AI_1I_2] = \frac{1}{2}\,AI_1 \cdot AI_2 \sin\frac{A}{2} \\ &= \frac{AB \cdot AC \sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}{\sin\alpha}, \end{aligned} que se minimiza cuando α=90∘,\alpha = 90^\circ, es decir, cuando XX es el pie de la altura desde A.A.

Con a=32,a = 32, b=34,b = 34, c=30,c = 30, y s=48,s = 48, las fórmulas de semiángulo dan sin⁡A2sin⁡B2sin⁡C2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} =(s−a)(s−b)(s−c)abc,= \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}, así que el área mínima es bc⋅(s−a)(s−b)(s−c)abc=16⋅14⋅1832=126. \begin{aligned} &bc \cdot \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc} \\ &= \frac{16 \cdot 14 \cdot 18}{32} = 126. \end{aligned}

Since AI1AI_1 and AI2AI_2 bisect angles BAXBAX and XAC,XAC, ∠I1AI2=12∠BAX\angle I_1AI_2 = \frac{1}{2}\angle BAX +12∠XAC=A2,+ \frac{1}{2}\angle XAC = \frac{A}{2}, a constant. Let α=∠AXB.\alpha = \angle AXB. The incenter angle formula gives ∠AI1B=90∘+α2,\angle AI_1B = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}, so the law of sines in △ABI1\triangle ABI_1 yields AI1=ABsin⁡B2cos⁡α2,AI_1 = \frac{AB \sin\frac{B}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}, and similarly, since ∠AXC=180∘−α,\angle AXC = 180^\circ - \alpha, AI2=ACsin⁡C2sin⁡α2.AI_2 = \frac{AC \sin\frac{C}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}.

Therefore [△AI1I2]=12 AI1⋅AI2sin⁡A2=AB⋅ACsin⁡A2sin⁡B2sin⁡C2sin⁡α, \begin{aligned} &[\triangle AI_1I_2] = \frac{1}{2}\,AI_1 \cdot AI_2 \sin\frac{A}{2} \\ &= \frac{AB \cdot AC \sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}{\sin\alpha}, \end{aligned} which is minimized when α=90∘,\alpha = 90^\circ, that is, when XX is the foot of the altitude from A.A.

With a=32,a = 32, b=34,b = 34, c=30,c = 30, and s=48,s = 48, the half-angle formulas give sin⁡A2sin⁡B2sin⁡C2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} =(s−a)(s−b)(s−c)abc,= \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}, so the minimum area is bc⋅(s−a)(s−b)(s−c)abc=16⋅14⋅1832=126. \begin{aligned} &bc \cdot \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc} \\ &= \frac{16 \cdot 14 \cdot 18}{32} = 126. \end{aligned}

14.

Sea SP1P2P3EP4P5SP_1P_2P_3EP_4P_5 un heptágono. Una rana empieza a saltar en el vértice S.S. Desde cualquier vértice del heptágono excepto E,E, la rana puede saltar a cualquiera de los dos vértices adyacentes. Cuando llega al vértice E,E, la rana se detiene y permanece allí. Halle el número de sucesiones distintas de saltos de no más de 1212 saltos que terminan en E.E.

Let SP1P2P3EP4P5SP_1P_2P_3EP_4P_5 be a heptagon. A frog starts jumping at vertex S.S. From any vertex of the heptagon except E,E, the frog may jump to either of the two adjacent vertices. When it reaches vertex E,E, the frog stops and stays there. Find the number of distinct sequences of jumps of no more than 1212 jumps that end at E.E.

Conceptos:conteo recursivosimetría

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

Agrupe los vértices en clases A={S,P1},\mathcal{A} = \{S, P_1\}, B={P2,P5},\mathcal{B} = \{P_2, P_5\}, y C={P3,P4}.\mathcal{C} = \{P_3, P_4\}. Cada vértice de A\mathcal{A} se une a un vértice de A\mathcal{A} y a uno de B;\mathcal{B}; cada vértice de B\mathcal{B} se une a uno de A\mathcal{A} y a uno de C;\mathcal{C}; y cada vértice de C\mathcal{C} se une a uno de B\mathcal{B} y al vértice absorbente E.E. Por lo tanto, si an,a_n, bn,b_n, cnc_n cuentan los caminos de nn saltos desde SS que aún no han llegado a EE y terminan en cada clase, an+1=an+bn,bn+1=an+cn,cn+1=bn, \begin{aligned} &a_{n+1} = a_n + b_n, \\ &b_{n+1} = a_n + c_n, \\ &c_{n+1} = b_n, \end{aligned} y exactamente cnc_n caminos llegan a EE por primera vez en el salto n+1.n + 1.

Partiendo de (a0,b0,c0)=(1,0,0),(a_0, b_0, c_0) = (1, 0, 0), los valores de cnc_n para n=0,1,…,11n = 0, 1, \ldots, 11 son 0,0, 0,0, 1,1, 1,1, 3,3, 4,4, 9,9, 14,14, 28,28, 47,47, 89,89, 155.155.

El número de sucesiones de a lo más 1212 saltos que terminan en EE es c0+c1+⋯+c11=351.c_0 + c_1 + \cdots + c_{11} = 351.

Group the vertices into classes A={S,P1},\mathcal{A} = \{S, P_1\}, B={P2,P5},\mathcal{B} = \{P_2, P_5\}, and C={P3,P4}.\mathcal{C} = \{P_3, P_4\}. Each vertex of A\mathcal{A} adjoins one vertex of A\mathcal{A} and one of B;\mathcal{B}; each vertex of B\mathcal{B} adjoins one of A\mathcal{A} and one of C;\mathcal{C}; and each vertex of C\mathcal{C} adjoins one of B\mathcal{B} and the absorbing vertex E.E. Hence if an,a_n, bn,b_n, cnc_n count the nn-jump paths from SS that have not yet reached EE and end in each class, an+1=an+bn,bn+1=an+cn,cn+1=bn, \begin{aligned} &a_{n+1} = a_n + b_n, \\ &b_{n+1} = a_n + c_n, \\ &c_{n+1} = b_n, \end{aligned} and exactly cnc_n paths reach EE for the first time on jump n+1.n + 1.

Starting from (a0,b0,c0)=(1,0,0),(a_0, b_0, c_0) = (1, 0, 0), the values of cnc_n for n=0,1,…,11n = 0, 1, \ldots, 11 are 0,0, 0,0, 1,1, 1,1, 3,3, 4,4, 9,9, 14,14, 28,28, 47,47, 89,89, 155.155.

The number of sequences of at most 1212 jumps ending at EE is c0+c1+⋯+c11=351.c_0 + c_1 + \cdots + c_{11} = 351.

15.

David encontró cuatro palos de diferentes longitudes que pueden usarse para formar tres cuadriláteros cíclicos convexos no congruentes, A,A, B,B, C,C, cada uno de los cuales puede inscribirse en un círculo de radio 1.1. Sea φA\varphi_A la medida del ángulo agudo formado por las diagonales del cuadrilátero A,A, y defina φB\varphi_B y φC\varphi_C de manera similar. Suponga que sin⁡φA=23,\sin\varphi_A = \frac{2}{3}, sin⁡φB=35,\sin\varphi_B = \frac{3}{5}, y sin⁡φC=67.\sin\varphi_C = \frac{6}{7}. Los tres cuadriláteros tienen la misma área K,K, que puede escribirse en la forma mn,\frac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí. Halle m+n.m + n.

David found four sticks of different lengths that can be used to form three non-congruent convex cyclic quadrilaterals, A,A, B,B, C,C, which can each be inscribed in a circle with radius 1.1. Let φA\varphi_A denote the measure of the acute angle made by the diagonals of quadrilateral A,A, and define φB\varphi_B and φC\varphi_C similarly. Suppose that sin⁡φA=23,\sin\varphi_A = \frac{2}{3}, sin⁡φB=35,\sin\varphi_B = \frac{3}{5}, and sin⁡φC=67.\sin\varphi_C = \frac{6}{7}. All three quadrilaterals have the same area K,K, which can be written in the form mn,\frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. Find m+n.m + n.

Conceptos:cuadrilátero cíclicoarcotrigonometríaárea

Nivel de dificultad: 3500

Solución:

Los cuatro palos son cuerdas del círculo unitario que subtienden arcos fijos α,\alpha, β,\beta, γ,\gamma, δ\delta con α+β+γ+δ=360∘.\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ. Los tres cuadriláteros son los tres órdenes cíclicos distintos de los lados: digamos que AA tiene los arcos en orden α,β,γ,δ;\alpha, \beta, \gamma, \delta; entonces BB (orden α,γ,β,δ\alpha, \gamma, \beta, \delta) y CC (orden α,β,δ,γ\alpha, \beta, \delta, \gamma) son los otros dos. El ángulo entre las diagonales de un cuadrilátero cíclico es la mitad de la suma de los arcos subtendidos por cualquiera de los dos pares de lados opuestos, así que sin⁡φB=sin⁡α+β2\sin\varphi_B = \sin\frac{\alpha + \beta}{2} y sin⁡φC=sin⁡α+δ2=sin⁡β+γ2.\sin\varphi_C = \sin\frac{\alpha + \delta}{2} = \sin\frac{\beta + \gamma}{2}.

En un círculo de radio 1,1, una cuerda que abarca un arco θ\theta tiene longitud 2sin⁡θ2.2\sin\frac{\theta}{2}. Las diagonales de AA abarcan los arcos α+β\alpha + \beta y β+γ,\beta + \gamma, así que sus longitudes son 2sin⁡φB2\sin\varphi_B y 2sin⁡φC.2\sin\varphi_C. Por lo tanto K=12 d1d2sin⁡φA=2sin⁡φAsin⁡φBsin⁡φC, \begin{aligned} &K = \frac{1}{2}\,d_1 d_2 \sin\varphi_A \\ &= 2\sin\varphi_A \sin\varphi_B \sin\varphi_C, \end{aligned} una fórmula simétrica en los tres cuadriláteros, razón por la cual las tres áreas son iguales.

Por lo tanto K=2⋅23⋅35⋅67=2435,K = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{6}{7} = \frac{24}{35}, y m+n=24+35=59.m + n = 24 + 35 = 59.

The four sticks are chords of the unit circle subtending fixed arcs α,\alpha, β,\beta, γ,\gamma, δ\delta with α+β+γ+δ=360∘.\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ. The three quadrilaterals are the three distinct cyclic orders of the sides: say AA has arcs in order α,β,γ,δ;\alpha, \beta, \gamma, \delta; then BB (order α,γ,β,δ\alpha, \gamma, \beta, \delta) and CC (order α,β,δ,γ\alpha, \beta, \delta, \gamma) are the other two. The angle between the diagonals of a cyclic quadrilateral is half the sum of the arcs subtended by either pair of opposite sides, so sin⁡φB=sin⁡α+β2\sin\varphi_B = \sin\frac{\alpha + \beta}{2} and sin⁡φC=sin⁡α+δ2=sin⁡β+γ2.\sin\varphi_C = \sin\frac{\alpha + \delta}{2} = \sin\frac{\beta + \gamma}{2}.

In a circle of radius 1,1, a chord spanning an arc θ\theta has length 2sin⁡θ2.2\sin\frac{\theta}{2}. The diagonals of AA span the arcs α+β\alpha + \beta and β+γ,\beta + \gamma, so their lengths are 2sin⁡φB2\sin\varphi_B and 2sin⁡φC.2\sin\varphi_C. Hence K=12 d1d2sin⁡φA=2sin⁡φAsin⁡φBsin⁡φC, \begin{aligned} &K = \frac{1}{2}\,d_1 d_2 \sin\varphi_A \\ &= 2\sin\varphi_A \sin\varphi_B \sin\varphi_C, \end{aligned} a formula symmetric in the three quadrilaterals, which is why all three areas are equal.

Therefore K=2⋅23⋅35⋅67=2435,K = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{6}{7} = \frac{24}{35}, and m+n=24+35=59.m + n = 24 + 35 = 59.