Question

Las $52$ cartas de una baraja están numeradas $1, 2, \ldots, 52.$ Alex, Blair, Corey y Dylan sacan cada uno una carta de la baraja sin reemplazo y con cada carta igualmente probable de ser sacada. Las dos personas con las cartas de menor número forman un equipo, y las dos personas con las cartas de mayor número forman otro equipo. Sea $p(a)$ la probabilidad de que Alex y Dylan estén en el mismo equipo, dado que Alex saca una de las cartas $a$ y $a + 9,$ y Dylan saca la otra de estas dos cartas. El mínimo valor de $p(a)$ para el cual $p(a) \ge \frac{1}{2}$ se puede escribir como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

The $52$ cards in a deck are numbered $1, 2, \ldots, 52.$ Alex, Blair, Corey, and Dylan each picks a card from the deck without replacement and with each card being equally likely to be picked. The two persons with lower numbered cards form a team, and the two persons with higher numbered cards form another team. Let $p(a)$ be the probability that Alex and Dylan are on the same team, given that Alex picks one of the cards $a$ and $a + 9,$ and Dylan picks the other of these two cards. The minimum value of $p(a)$ for which $p(a) \ge \frac{1}{2}$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Condiciona en que Alex y Dylan tengan $a$ y $a + 9.$ Blair y Corey sacan entonces $2$ de las $50$ cartas restantes, y Alex y Dylan son compañeros exactamente cuando ambas de esas cartas están por debajo de $a$ (Alex y Dylan son el equipo alto) o ambas por encima de $a + 9$ (el equipo bajo). Hay $a - 1$ cartas por debajo y $52 - (a + 9) = 43 - a$ cartas por encima, así que $p(a) = \frac{\binom{a-1}{2} + \binom{43-a}{2}}{\binom{50}{2}}.$

El numerador es $\frac{(a-1)(a-2) + (43-a)(42-a)}{2}$ $= a^2 - 44a + 904,$ así que $p(a) \ge \frac{1}{2}$ se convierte en $a^2 - 44a + 904 \ge \frac{25 \cdot 49}{2},$ es decir, $(a - 22)^2 \ge \frac{385}{2}.$ Como $a$ es entero, $|a - 22| \ge 14,$ así que $a \le 8$ o $a \ge 36.$

La parábola es más pequeña en los puntos admisibles más cercanos a $a = 22:$ $p(8) = p(36)$ $= \frac{\binom{7}{2} + \binom{35}{2}}{\binom{50}{2}}$ $= \frac{616}{1225}$ $= \frac{88}{175},$ que en efecto es al menos $\frac{1}{2}.$ Por tanto $m + n = 88 + 175 = 263.$

Condition on Alex and Dylan holding $a$ and $a + 9.$ Blair and Corey then draw $2$ of the remaining $50$ cards, and Alex and Dylan are teammates exactly when both of those cards are below $a$ (Alex and Dylan are the high team) or both are above $a + 9$ (the low team). There are $a - 1$ cards below and $52 - (a + 9) = 43 - a$ cards above, so $p(a) = \frac{\binom{a-1}{2} + \binom{43-a}{2}}{\binom{50}{2}}.$

The numerator is $\frac{(a-1)(a-2) + (43-a)(42-a)}{2}$ $= a^2 - 44a + 904,$ so $p(a) \ge \frac{1}{2}$ becomes $a^2 - 44a + 904 \ge \frac{25 \cdot 49}{2},$ that is, $(a - 22)^2 \ge \frac{385}{2}.$ Since $a$ is an integer, $|a - 22| \ge 14,$ so $a \le 8$ or $a \ge 36.$

The parabola is smallest at the admissible points closest to $a = 22:$ $p(8) = p(36)$ $= \frac{\binom{7}{2} + \binom{35}{2}}{\binom{50}{2}}$ $= \frac{616}{1225}$ $= \frac{88}{175},$ which is indeed at least $\frac{1}{2}.$ Thus $m + n = 88 + 175 = 263.$

2010 AIME II Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años