Question

Dos triángulos isósceles no congruentes de lados enteros tienen el mismo perímetro y la misma área. La razón entre las longitudes de las bases de los dos triángulos es $8 : 7.$ Halla el mínimo valor posible de su perímetro común.

Two noncongruent integer-sided isosceles triangles have the same perimeter and the same area. The ratio of the lengths of the bases of the two triangles is $8 : 7.$ Find the minimum possible value of their common perimeter.

Respuesta

Solución:

Como las bases enteras están en razón $8 : 7,$ son $8a$ y $7a$ para un entero positivo $a.$ Áreas iguales hacen que las alturas correspondientes sean inversamente proporcionales a las bases, digamos $7h$ y $8h.$ Los lados iguales son entonces $\sqrt{16a^2 + 49h^2}$ y $\sqrt{\frac{49}{4}a^2 + 64h^2},$ y perímetros iguales dan $\begin{aligned} &8a + 2\sqrt{16a^2 + 49h^2} \\ &= 7a + 2\sqrt{\tfrac{49}{4}a^2 + 64h^2}. \end{aligned}$

Pasando $7a$ al lado izquierdo y elevando al cuadrado se obtiene $a\sqrt{16a^2 + 49h^2} = 15h^2 - 4a^2;$ elevando al cuadrado de nuevo y simplificando queda $225h^4 = 169a^2h^2,$ así que $h = \frac{13a}{15}.$ Los lados iguales se vuelven $\sqrt{16a^2 + 49 \cdot \tfrac{169a^2}{225}} = \frac{109a}{15}$ y $\sqrt{\tfrac{49}{4}a^2 + 64 \cdot \tfrac{169a^2}{225}} = \frac{233a}{30}.$

Para que todos los lados sean enteros, $30$ debe dividir a $a.$ Tomando $a = 30$ se obtienen los triángulos $(218, 218, 240)$ y $(233, 233, 210),$ cada uno con perímetro $676$ y área $21840.$ El mínimo perímetro común es $676.$

Since the integer bases are in ratio $8 : 7,$ they are $8a$ and $7a$ for a positive integer $a.$ Equal areas make the corresponding altitudes inversely proportional to the bases, say $7h$ and $8h.$ The legs are then $\sqrt{16a^2 + 49h^2}$ and $\sqrt{\frac{49}{4}a^2 + 64h^2},$ and equal perimeters give $\begin{aligned} &8a + 2\sqrt{16a^2 + 49h^2} \\ &= 7a + 2\sqrt{\tfrac{49}{4}a^2 + 64h^2}. \end{aligned}$

Moving $7a$ to the left and squaring yields $a\sqrt{16a^2 + 49h^2} = 15h^2 - 4a^2;$ squaring again and simplifying leaves $225h^4 = 169a^2h^2,$ so $h = \frac{13a}{15}.$ The legs become $\sqrt{16a^2 + 49 \cdot \tfrac{169a^2}{225}} = \frac{109a}{15}$ and $\sqrt{\tfrac{49}{4}a^2 + 64 \cdot \tfrac{169a^2}{225}} = \frac{233a}{30}.$

For all sides to be integers, $30$ must divide $a.$ Taking $a = 30$ gives the triangles $(218, 218, 240)$ and $(233, 233, 210),$ each with perimeter $676$ and area $21840.$ The minimum common perimeter is $676.$

2010 AIME II Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años