Question

El círculo $C_0$ tiene radio $1,$ y el punto $A_0$ es un punto sobre el círculo. El círculo $C_1$ tiene radio $r \lt 1$ y es tangente interiormente a $C_0$ en el punto $A_0.$ El punto $A_1$ está sobre el círculo $C_1$ de modo que $A_1$ se ubica $90^\circ$ en sentido antihorario desde $A_0$ sobre $C_1.$ El círculo $C_2$ tiene radio $r^2$ y es tangente interiormente a $C_1$ en el punto $A_1.$ De esta manera se construyen una sucesión de círculos $C_1, C_2, C_3, \ldots$ y una sucesión de puntos sobre los círculos $A_1, A_2, A_3, \ldots$ , donde el círculo $C_n$ tiene radio $r^n$ y es tangente interiormente al círculo $C_{n-1}$ en el punto $A_{n-1},$ y el punto $A_n$ está sobre $C_n$ a $90^\circ$ en sentido antihorario desde el punto $A_{n-1},$ como se muestra en la figura de abajo. Hay un punto $B$ dentro de todos estos círculos. Cuando $r = \frac{11}{60},$ la distancia desde el centro de $C_0$ hasta $B$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Circle $C_0$ has radius $1,$ and the point $A_0$ is a point on the circle. Circle $C_1$ has radius $r \lt 1$ and is internally tangent to $C_0$ at point $A_0.$ Point $A_1$ lies on circle $C_1$ so that $A_1$ is located $90^\circ$ counterclockwise from $A_0$ on $C_1.$ Circle $C_2$ has radius $r^2$ and is internally tangent to $C_1$ at point $A_1.$ In this way a sequence of circles $C_1, C_2, C_3, \ldots$ and a sequence of points on the circles $A_1, A_2, A_3, \ldots$ are constructed, where circle $C_n$ has radius $r^n$ and is internally tangent to circle $C_{n-1}$ at point $A_{n-1},$ and point $A_n$ lies on $C_n$ $90^\circ$ counterclockwise from point $A_{n-1},$ as shown in the figure below. There is one point $B$ inside all of these circles. When $r = \frac{11}{60},$ the distance from the center of $C_0$ to $B$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Trabajemos en el plano complejo con $C_0$ centrado en $O_0 = 0$ y $A_0 = 1,$ y sea $O_n$ el centro de $C_n.$ Por inducción, $A_n = O_n + r^n i^n:$ esto se cumple para $n = 0,$ y como $C_{n+1}$ es tangente interiormente a $C_n$ en $A_n,$ su centro es $O_{n+1} = A_n - r^{n+1} i^n;$ entonces $A_n$ está en dirección $i^n$ desde $O_{n+1},$ así que rotar $90^\circ$ en sentido antihorario da $A_{n+1} = O_{n+1} + r^{n+1} i^{n+1}.$

Por lo tanto $O_{n+1} - O_n$ $= (r^n - r^{n+1})\, i^n$ $= (1 - r)(ir)^n.$ Los círculos están anidados, y sus radios se reducen a $0,$ así que el punto común $B$ es el límite de los centros: $B = (1 - r)\sum_{n=0}^{\infty} (ir)^n = \frac{1 - r}{1 - ir},$ a distancia $\frac{1 - r}{|1 - ir|} = \frac{1 - r}{\sqrt{1 + r^2}}$ del origen.

Para $r = \frac{11}{60}$ esto es igual a $\frac{49/60}{\sqrt{3721}/60} = \frac{49}{61},$ así que $m + n = 49 + 61 = 110.$

Work in the complex plane with $C_0$ centered at $O_0 = 0$ and $A_0 = 1,$ and let $O_n$ be the center of $C_n.$ Inductively, $A_n = O_n + r^n i^n:$ this holds for $n = 0,$ and since $C_{n+1}$ is internally tangent to $C_n$ at $A_n,$ its center is $O_{n+1} = A_n - r^{n+1} i^n;$ then $A_n$ sits in direction $i^n$ from $O_{n+1},$ so rotating $90^\circ$ counterclockwise gives $A_{n+1} = O_{n+1} + r^{n+1} i^{n+1}.$

Therefore $O_{n+1} - O_n$ $= (r^n - r^{n+1})\, i^n$ $= (1 - r)(ir)^n.$ The circles are nested, and their radii shrink to $0,$ so the common point $B$ is the limit of the centers: $B = (1 - r)\sum_{n=0}^{\infty} (ir)^n = \frac{1 - r}{1 - ir},$ at distance $\frac{1 - r}{|1 - ir|} = \frac{1 - r}{\sqrt{1 + r^2}}$ from the origin.

For $r = \frac{11}{60}$ this equals $\frac{49/60}{\sqrt{3721}/60} = \frac{49}{61},$ so $m + n = 49 + 61 = 110.$

2017 AIME II Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años