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2023 AIME I Problema 12

Intenta el Problema 12 del 2023 AIME I a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2023 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

Sea △ABC\triangle ABC un triángulo equilátero de lado 55.55. Los puntos D,D, E,E, y FF están sobre BC‾,\overline{BC}, CA‾,\overline{CA}, y AB‾,\overline{AB}, respectivamente, con BD=7,BD = 7, CE=30,CE = 30, y AF=40.AF = 40. El punto PP dentro de △ABC\triangle ABC tiene la propiedad de que ∠AEP=∠BFP=∠CDP.\angle AEP = \angle BFP = \angle CDP. Halla tan⁡2(∠AEP).\tan^2(\angle AEP).
Let △ABC\triangle ABC be an equilateral triangle with side length 55.55. Points D,D, E,E, and FF lie on BC‾,\overline{BC}, CA‾,\overline{CA}, and AB‾,\overline{AB}, respectively, with BD=7,BD = 7, CE=30,CE = 30, and AF=40.AF = 40. Point PP inside △ABC\triangle ABC has the property that ∠AEP=∠BFP=∠CDP.\angle AEP = \angle BFP = \angle CDP. Find tan⁡2(∠AEP).\tan^2(\angle AEP).
Respuesta: 75
Conceptos:triángulo equiláteroTeorema de Vivianivectortrigonometría
Nivel de dificultad: 3270
Pista pequeña:
Descompón cada vector desde E,E, F,F, DD hasta PP en una parte a lo largo del lado y la distancia a ese lado; la parte a lo largo del lado es igual a la distancia por cot⁡θ.\cot\theta.
Decompose each vector from E,E, F,F, DD to PP into a part along the side and the distance to that side; the along-part equals the distance times cot⁡θ.\cot\theta.
Pista grande:
Suma las tres relaciones: las direcciones unitarias C→A,C \to A, A→B,A \to B, B→CB \to C suman cero, y las tres distancias suman la altura (Viviani).
Add the three relations: the unit directions C→A,C \to A, A→B,A \to B, B→CB \to C sum to zero, and the three distances sum to the height (Viviani).
Solución:
Coloca B=(0,0),B = (0, 0), C=(55,0),C = (55, 0), A=(552,5532),A = \left(\frac{55}{2}, \frac{55\sqrt{3}}{2}\right), de modo que D=(7,0),D = (7, 0), E=(40,153),E = (40, 15\sqrt{3}), y F=(152,1532).F = \left(\frac{15}{2}, \frac{15\sqrt{3}}{2}\right). Sea θ\theta el ángulo común y sean u1,u2,u3\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3 los vectores unitarios en las direcciones C→A,C \to A, A→B,A \to B, B→CB \to C, es decir, las direcciones desde EE hacia A,A, desde FF hacia B,B, y desde DD hacia C.C. Descomponiendo P−EP - E en su componente a lo largo de u1\mathbf{u}_1 y su componente perpendicular al lado CA,CA, cuya longitud es la distancia d1d_1 de PP a la recta CA,CA, la condición angular da (P−E)⋅u1=d1cot⁡θ;(P - E)\cdot\mathbf{u}_1 = d_1\cot\theta; de forma similar (P−F)⋅u2=d2cot⁡θ(P - F)\cdot\mathbf{u}_2 = d_2\cot\theta y (P−D)⋅u3=d3cot⁡θ.(P - D)\cdot\mathbf{u}_3 = d_3\cot\theta.
Ahora suma las tres relaciones. Como u1+u2+u3=0\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2 + \mathbf{u}_3 = \mathbf{0} (los lados dirigidos de un triángulo se cierran), PP desaparece, y por el teorema de Viviani d1+d2+d3d_1 + d_2 + d_3 es igual a la altura 5532.\frac{55\sqrt{3}}{2}. Con u1=(−12,32),\mathbf{u}_1 = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), u2=(−12,−32),\mathbf{u}_2 = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right), y u3=(1,0),\mathbf{u}_3 = (1, 0), obtenemos E⋅u1=52,E \cdot \mathbf{u}_1 = \frac{5}{2}, F⋅u2=−15,F \cdot \mathbf{u}_2 = -15, y D⋅u3=7,D \cdot \mathbf{u}_3 = 7, así que 5532 cot⁡θ=−(52−15+7)=112. \begin{aligned} \frac{55\sqrt{3}}{2}\,\cot\theta &= -\left(\frac{5}{2} - 15 + 7\right) \\ &= \frac{11}{2}. \end{aligned}
Por lo tanto cot⁡θ=11553=153,\cot\theta = \frac{11}{55\sqrt{3}} = \frac{1}{5\sqrt{3}}, así que tan⁡2(∠AEP)=(53)2=75.\tan^2(\angle AEP) = \left(5\sqrt{3}\right)^2 = 75.
Place B=(0,0),B = (0, 0), C=(55,0),C = (55, 0), A=(552,5532),A = \left(\frac{55}{2}, \frac{55\sqrt{3}}{2}\right), so that D=(7,0),D = (7, 0), E=(40,153),E = (40, 15\sqrt{3}), and F=(152,1532).F = \left(\frac{15}{2}, \frac{15\sqrt{3}}{2}\right). Let θ\theta be the common angle and let u1,u2,u3\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3 be the unit vectors in the directions C→A,C \to A, A→B,A \to B, B→CB \to C — the directions from EE toward A,A, from FF toward B,B, and from DD toward C.C. Splitting P−EP - E into its component along u1\mathbf{u}_1 and its component perpendicular to side CA,CA, whose length is the distance d1d_1 from PP to line CA,CA, the angle condition gives (P−E)⋅u1=d1cot⁡θ;(P - E)\cdot\mathbf{u}_1 = d_1\cot\theta; similarly (P−F)⋅u2=d2cot⁡θ(P - F)\cdot\mathbf{u}_2 = d_2\cot\theta and (P−D)⋅u3=d3cot⁡θ.(P - D)\cdot\mathbf{u}_3 = d_3\cot\theta.
Now add all three relations. Since u1+u2+u3=0\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2 + \mathbf{u}_3 = \mathbf{0} (the directed sides of a triangle close up), PP drops out, and by Viviani’s theorem d1+d2+d3d_1 + d_2 + d_3 equals the height 5532.\frac{55\sqrt{3}}{2}. With u1=(−12,32),\mathbf{u}_1 = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), u2=(−12,−32),\mathbf{u}_2 = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right), and u3=(1,0),\mathbf{u}_3 = (1, 0), we get E⋅u1=52,E \cdot \mathbf{u}_1 = \frac{5}{2}, F⋅u2=−15,F \cdot \mathbf{u}_2 = -15, and D⋅u3=7,D \cdot \mathbf{u}_3 = 7, so 5532 cot⁡θ=−(52−15+7)=112. \begin{aligned} \frac{55\sqrt{3}}{2}\,\cot\theta &= -\left(\frac{5}{2} - 15 + 7\right) \\ &= \frac{11}{2}. \end{aligned}
Hence cot⁡θ=11553=153,\cot\theta = \frac{11}{55\sqrt{3}} = \frac{1}{5\sqrt{3}}, so tan⁡2(∠AEP)=(53)2=75.\tan^2(\angle AEP) = \left(5\sqrt{3}\right)^2 = 75.
Problema 11#11
Examen completo
Problema 13#13

El Problema 12 en otros años

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