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2003 AIME I Problema 12

Intenta el Problema 12 del 2003 AIME I a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2003 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

En el cuadrilátero convexo ABCD,ABCD, ∠A≅∠C,\angle A \cong \angle C, AB=CD=180,AB = CD = 180, y AD≠BC.AD \ne BC. El perímetro de ABCDABCD es 640.640. Halla ⌊1000cos⁡A⌋.\lfloor 1000 \cos A \rfloor. (La notación ⌊x⌋\lfloor x \rfloor significa el mayor entero que es menor o igual que x.x.)
In convex quadrilateral ABCD,ABCD, ∠A≅∠C,\angle A \cong \angle C, AB=CD=180,AB = CD = 180, and AD≠BC.AD \ne BC. The perimeter of ABCDABCD is 640.640. Find ⌊1000cos⁡A⌋.\lfloor 1000 \cos A \rfloor. (The notation ⌊x⌋\lfloor x \rfloor means the greatest integer that is less than or equal to x.x.)
Respuesta: 777
Conceptos:ley de los cosenosdiferencia de cuadrados
Nivel de dificultad: 2560
Pista pequeña:
Calcula BD2BD^2 por la ley de los cosenos en los triángulos ABDABD y CDB,CDB, e iguala los resultados.
Compute BD2BD^2 by the Law of Cosines in triangles ABDABD and CDB,CDB, and set the results equal
Pista grande:
Como AD≠BC,AD \ne BC, dividir entre AD−BCAD - BC deja cos⁡A=AD+BC360,\cos A = \frac{AD + BC}{360}, y AD+BC=640−360AD + BC = 640 - 360.
Because AD≠BC,AD \ne BC, dividing by AD−BCAD - BC leaves cos⁡A=AD+BC360,\cos A = \frac{AD + BC}{360}, and AD+BC=640−360AD + BC = 640 - 360
Solución:
Sean ∠A=∠C=α,\angle A = \angle C = \alpha, AD=x,AD = x, y BC=y.BC = y. Aplicando la ley de los cosenos a la diagonal BDBD en los triángulos ABDABD y CDB,CDB, BD2=x2+1802−2⋅180xcos⁡α=y2+1802−2⋅180ycos⁡α. \begin{aligned} BD^2 &= x^2 + 180^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 180x\cos\alpha \\ &= y^2 + 180^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 180y\cos\alpha. \end{aligned}
Reordenando se obtiene x2−y2=2⋅180(x−y)cos⁡α,x^2 - y^2 = 2 \cdot 180(x - y)\cos\alpha, y como x≠yx \ne y podemos dividir entre x−y:x - y: cos⁡α=x+y360=640−2⋅180360=280360=79. \begin{aligned} \cos\alpha &= \frac{x + y}{360} \\ &= \frac{640 - 2 \cdot 180}{360} \\ &= \frac{280}{360} = \frac{7}{9}. \end{aligned}
Entonces 1000cos⁡A=70009=777.7…,1000\cos A = \frac{7000}{9} = 777.7\ldots, así que ⌊1000cos⁡A⌋=777.\lfloor 1000\cos A \rfloor = 777.
Let ∠A=∠C=α,\angle A = \angle C = \alpha, AD=x,AD = x, and BC=y.BC = y. Applying the Law of Cosines to diagonal BDBD in triangles ABDABD and CDB,CDB, BD2=x2+1802−2⋅180xcos⁡α=y2+1802−2⋅180ycos⁡α. \begin{aligned} BD^2 &= x^2 + 180^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 180x\cos\alpha \\ &= y^2 + 180^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 180y\cos\alpha. \end{aligned}
Rearranging gives x2−y2=2⋅180(x−y)cos⁡α,x^2 - y^2 = 2 \cdot 180(x - y)\cos\alpha, and since x≠yx \ne y we may divide by x−y:x - y: cos⁡α=x+y360=640−2⋅180360=280360=79. \begin{aligned} \cos\alpha &= \frac{x + y}{360} \\ &= \frac{640 - 2 \cdot 180}{360} \\ &= \frac{280}{360} = \frac{7}{9}. \end{aligned}
Then 1000cos⁡A=70009=777.7…,1000\cos A = \frac{7000}{9} = 777.7\ldots, so ⌊1000cos⁡A⌋=777.\lfloor 1000\cos A \rfloor = 777.
Problema 11#11
Examen completo
Problema 13#13

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