Question

La sucesión geométrica creciente $x_0, x_1, x_2, \ldots$ consta enteramente de potencias enteras de $3.$ Dado que $\sum_{n=0}^{7} \log_3(x_n) = 308$ y $56 \le \log_3\left(\sum_{n=0}^{7} x_n\right) \le 57,$ ¿cuánto vale $\log_3(x_{14})$ ?

The increasing geometric sequence $x_0, x_1, x_2, \ldots$ consists entirely of integral powers of $3.$ Given that $\sum_{n=0}^{7} \log_3(x_n) = 308$ and $56 \le \log_3\left(\sum_{n=0}^{7} x_n\right) \le 57,$ find $\log_3(x_{14}).$

Respuesta

Solución:

Cada término es una potencia de $3$ y la razón es un cociente de potencias de $3,$ así que $x_n = 3^{a + bn}$ para enteros $a$ y $b,$ con $b \ge 1$ ya que la sucesión es creciente. La primera condición da $\sum_{n=0}^{7} (a + bn) = 8a + 28b = 308,$ es decir $2a + 7b = 77.$

Para la segunda condición, $x_7 = 3^{a+7b}$ es el término más grande, y $\begin{aligned} x_7 &\lt \sum_{n=0}^{7} x_n \\ &\lt x_7\left(1 + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{9} + \cdots\right) \\ &= \tfrac{3}{2}\,x_7 \lt 3x_7, \end{aligned}$ así que $\log_3\left(\sum x_n\right)$ está estrictamente entre $a + 7b$ y $a + 7b + 1.$ Las cotas dadas obligan entonces a $a + 7b = 56.$

Restando de $2a + 7b = 77$ se obtiene $a = 21,$ luego $b = 5.$ Por lo tanto $\log_3(x_{14}) = a + 14b = 21 + 70$ $= 91.$

Every term is a power of $3$ and the ratio is a quotient of powers of $3,$ so $x_n = 3^{a + bn}$ for integers $a$ and $b,$ with $b \ge 1$ since the sequence increases. The first condition gives $\sum_{n=0}^{7} (a + bn) = 8a + 28b = 308,$ i.e. $2a + 7b = 77.$

For the second condition, $x_7 = 3^{a+7b}$ is the largest term, and $\begin{aligned} x_7 &\lt \sum_{n=0}^{7} x_n \\ &\lt x_7\left(1 + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{9} + \cdots\right) \\ &= \tfrac{3}{2}\,x_7 \lt 3x_7, \end{aligned}$ so $\log_3\left(\sum x_n\right)$ lies strictly between $a + 7b$ and $a + 7b + 1.$ The given bounds then force $a + 7b = 56.$

Subtracting from $2a + 7b = 77$ yields $a = 21,$ then $b = 5.$ Therefore $\log_3(x_{14}) = a + 14b = 21 + 70$ $= 91.$

2007 AIME II Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años