Question

Sean $m$ y $n$ enteros impares mayores que $1.$ Un rectángulo $m \times n$ está formado por cuadrados unitarios donde los cuadrados de la fila superior están numerados de izquierda a derecha con los enteros del $1$ al $n,$ los de la segunda fila están numerados de izquierda a derecha con los enteros del $n + 1$ al $2n,$ y así sucesivamente. El cuadrado $200$ está en la fila superior, y el cuadrado $2000$ está en la fila inferior. Halle el número de pares ordenados $(m, n)$ de enteros impares mayores que $1$ con la propiedad de que, en el rectángulo $m \times n,$ la recta que pasa por los centros de los cuadrados $200$ y $2000$ corta el interior del cuadrado $1099.$

Let $m$ and $n$ be odd integers greater than $1.$ An $m \times n$ rectangle is made up of unit squares where the squares in the top row are numbered left to right with the integers $1$ through $n,$ those in the second row are numbered left to right with the integers $n + 1$ through $2n,$ and so on. Square $200$ is in the top row, and square $2000$ is in the bottom row. Find the number of ordered pairs $(m, n)$ of odd integers greater than $1$ with the property that, in the $m \times n$ rectangle, the line through the centers of squares $200$ and $2000$ intersects the interior of square $1099.$

Respuesta

Solución:

Use coordenadas $(\text{column}, \text{row}).$ El cuadrado $200$ está en la fila superior, así que $n \ge 200$ (por lo tanto $n \ge 201$ por ser $n$ impar) y su centro es $(200, 1).$ El cuadrado $2000$ está en la fila inferior, así que su columna es $b = 2000 - (m-1)n$ con $1 \le b \le n,$ es decir $(m-1)n \lt 2000 \le mn,$ y su centro es $(b, m).$ Como $m$ y $n$ son impares, $b$ es par, así que el punto medio $\left(\frac{200 + b}{2}, \frac{m+1}{2}\right)$ de los dos centros tiene coordenadas enteras; su número de cuadrado es $\frac{(m-1)n + 200 + b}{2} = \frac{2200}{2} = 1100.$ Su columna $100 + \frac{b}{2}$ está entre $101$ y $n,$ así que la recta pasa por el centro del cuadrado $1100,$ y el cuadrado $1099$ está inmediatamente a su izquierda en la misma fila.

El cuadrado $1099$ está solo en esa fila, y la recta cruza la franja horizontal de esa fila en un segmento centrado (por simetría) en el centro del cuadrado $1100,$ que se extiende $\frac{1}{2|s|}$ hacia cada lado, donde $s = \frac{m-1}{b - 200}$ es la pendiente. Así, la recta corta el interior del cuadrado $1099$ exactamente cuando $\frac{1}{2|s|} \gt \frac{1}{2},$ es decir $|s| \lt 1,$ o sea $m - 1 \lt |b - 200|$ $= |1800 - (m-1)n|$ (una recta vertical, $b = 200,$ no cumple).

Como $n \ge 201$ y $(m-1)n \lt 2000,$ necesitamos $m - 1 \lt 10,$ así que $m \in \{3, 5, 7, 9\}.$ Para $m = 3:$ enteros impares $n \in [667, 999],$ $167$ valores, y excluyendo $|n - 900| \le 1$ (los casos impares $899, 901$ ) quedan $165.$ Para $m = 5:$ enteros impares $n \in [401, 499],$ $50$ valores, excluyendo $449, 451$ quedan $48.$ Para $m = 7:$ enteros impares $n \in [287, 333],$ $24$ valores, excluyendo $299, 301$ quedan $22.$ Para $m = 9:$ enteros impares $n \in [223, 249],$ $14$ valores, excluyendo $225$ quedan $13.$ El total es $165 + 48 + 22 + 13 = 248.$

Use coordinates $(\text{column}, \text{row}).$ Square $200$ is in the top row, so $n \ge 200$ (hence $n \ge 201$ as $n$ is odd) and its center is $(200, 1).$ Square $2000$ is in the bottom row, so its column is $b = 2000 - (m-1)n$ with $1 \le b \le n,$ i.e. $(m-1)n \lt 2000 \le mn,$ and its center is $(b, m).$ Since $m$ and $n$ are odd, $b$ is even, so the midpoint $\left(\frac{200 + b}{2}, \frac{m+1}{2}\right)$ of the two centers has integer coordinates; its square number is $\frac{(m-1)n + 200 + b}{2} = \frac{2200}{2} = 1100.$ Its column $100 + \frac{b}{2}$ lies between $101$ and $n,$ so the line passes through the center of square $1100,$ and square $1099$ sits immediately to its left in the same row.

Square $1099$ lies only in that row, and the line crosses that row's horizontal strip in a segment centered (by symmetry) at the center of square $1100,$ extending $\frac{1}{2|s|}$ to each side, where $s = \frac{m-1}{b - 200}$ is the slope. So the line meets the interior of square $1099$ exactly when $\frac{1}{2|s|} \gt \frac{1}{2},$ that is $|s| \lt 1,$ i.e. $m - 1 \lt |b - 200|$ $= |1800 - (m-1)n|$ (a vertical line, $b = 200,$ fails).

Since $n \ge 201$ and $(m-1)n \lt 2000,$ we need $m - 1 \lt 10,$ so $m \in \{3, 5, 7, 9\}.$ For $m = 3:$ odd $n \in [667, 999],$ $167$ values, excluding $|n - 900| \le 1$ (odd cases $899, 901$ ) leaves $165.$ For $m = 5:$ odd $n \in [401, 499],$ $50$ values, excluding $449, 451$ leaves $48.$ For $m = 7:$ odd $n \in [287, 333],$ $24$ values, excluding $299, 301$ leaves $22.$ For $m = 9:$ odd $n \in [223, 249],$ $14$ values, excluding $225$ leaves $13.$ The total is $165 + 48 + 22 + 13 = 248.$

2020 AIME II Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años