Question

El

\triangle ABC

equilátero está inscrito en una circunferencia de radio

2.

Prolonga

\overline{AB}

más allá de

B

hasta el punto

D

de modo que

AD = 13,

y prolonga

\overline{AC}

más allá de

C

hasta el punto

E

de modo que

AE = 11.

Por

D,

traza una recta

\ell_1

paralela a

\overline{AE},

y por

E,

traza una recta

\ell_2

paralela a

\overline{AD}.

Sea

F

la intersección de

\ell_1

y

\ell_2.

Sea

G

el punto de la circunferencia que es colineal con

A

y

F

y distinto de

A.

Dado que el área de

\triangle CBG

se puede expresar en la forma

\frac{p\sqrt{q}}{r},

donde

p,

q,

y

r

son enteros positivos,

p

y

r

son primos entre sí, y

q

no es divisible por el cuadrado de ningún primo, halla

p + q + r.

Equilateral

\triangle ABC

is inscribed in a circle of radius

2.

Extend

\overline{AB}

through

B

to point

D

so that

AD = 13,

and extend

\overline{AC}

through

C

to point

E

so that

AE = 11.

Through

D,

draw a line

\ell_1

parallel to

\overline{AE},

and through

E,

draw a line

\ell_2

parallel to

\overline{AD}.

Let

F

be the intersection of

\ell_1

and

\ell_2.

Let

G

be the point on the circle that is collinear with

A

and

F

and distinct from

A.

Given that the area of

\triangle CBG

can be expressed in the form

\frac{p\sqrt{q}}{r},

where

p,

q,

and

r

are positive integers,

p

and

r

are relatively prime, and

q

is not divisible by the square of any prime, find

p + q + r.

Respuesta

Respuesta: 865

Conceptos:semejanza ángulo inscrito ley de los cosenos paralelogramo

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

ADFE

es un paralelogramo, así que

\angle ADF = 120^\circ;

halla

[ADF]

y

AF

por la ley de cosenos.

ADFE

is a parallelogram, so

\angle ADF = 120^\circ;

find

[ADF]

and

AF

by the law of cosines.

Pista grande:

Los ángulos inscritos muestran

\triangle CBG \sim \triangle AFD,

con razón

BC : AF,

donde

BC = 2\sqrt{3}.

Inscribed angles show

\triangle CBG \sim \triangle AFD,

with ratio

BC : AF

where

BC = 2\sqrt{3}.

Solución:

Por construcción,

ADFE

es un paralelogramo con

AD = 13,

DF = AE = 11,

y

\angle ADF = 180^\circ - \angle DAE

= 120^\circ.

Por lo tanto

[ADF] = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 11 \sin 120^\circ

= \frac{143\sqrt{3}}{4},

y por la ley de cosenos,

\begin{aligned} AF^2 &= 13^2 + 11^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 13 \cdot 11 \cos 120^\circ \\ &= 169 + 121 + 143 \\ &= 433. \end{aligned}

Como

G

está en la circunferencia, los ángulos inscritos dan

\angle GCB = \angle GAB = \angle FAD

(ambos subtienden el arco

GB

) y

\angle CBG = \angle CAG

(ambos subtienden el arco

CG

); y

\angle CAG = \angle AFD

porque

\overline{AE} \parallel \overline{DF}.

Así que

\triangle CBG \sim \triangle AFD

con razón

\frac{CB}{AF}.

El lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio

2

es

BC = 2\sqrt{3}.

Por lo tanto,

\begin{aligned} [CBG] &= \left(\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{433}}\right)^2 \cdot \frac{143\sqrt{3}}{4} \\ &= \frac{12}{433} \cdot \frac{143\sqrt{3}}{4} \\ &= \frac{429\sqrt{3}}{433}, \end{aligned}

y

p + q + r

= 429 + 3 + 433

= 865.

By construction

ADFE

is a parallelogram with

AD = 13,

DF = AE = 11,

and

\angle ADF = 180^\circ - \angle DAE

= 120^\circ.

Hence

[ADF] = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 11 \sin 120^\circ

= \frac{143\sqrt{3}}{4},

and by the law of cosines,

\begin{aligned} AF^2 &= 13^2 + 11^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 13 \cdot 11 \cos 120^\circ \\ &= 169 + 121 + 143 \\ &= 433. \end{aligned}

Since

G

lies on the circle, inscribed angles give

\angle GCB = \angle GAB = \angle FAD

(both subtend arc

GB

) and

\angle CBG = \angle CAG

(both subtend arc

CG

); and

\angle CAG = \angle AFD

because

\overline{AE} \parallel \overline{DF}.

So

\triangle CBG \sim \triangle AFD

with ratio

\frac{CB}{AF}.

The side of an equilateral triangle inscribed in a circle of radius

2

is

BC = 2\sqrt{3}.

Therefore

\begin{aligned} [CBG] &= \left(\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{433}}\right)^2 \cdot \frac{143\sqrt{3}}{4} \\ &= \frac{12}{433} \cdot \frac{143\sqrt{3}}{4} \\ &= \frac{429\sqrt{3}}{433}, \end{aligned}

and

p + q + r

= 429 + 3 + 433

= 865.

2006 AIME II Problema 12

Respuesta: 865

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años