Question

Una esfera está inscrita en el tetraedro cuyos vértices son $A = (6, 0, 0),$ $B = (0, 4, 0),$ $C = (0, 0, 2),$ y $D = (0, 0, 0).$ El radio de la esfera es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

A sphere is inscribed in the tetrahedron whose vertices are $A = (6, 0, 0),$ $B = (0, 4, 0),$ $C = (0, 0, 2),$ and $D = (0, 0, 0).$ The radius of the sphere is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Conectar el incentro con los cuatro vértices divide el tetraedro en cuatro pirámides de altura $r$ sobre las caras, así que $V = \frac{1}{3} r S,$ es decir $r = \frac{3V}{S},$ donde $S$ es el área total de la superficie.

Aquí $V = \frac{1}{6} \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 8.$ Las tres caras sobre los planos coordenados son triángulos rectángulos con áreas $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12,$ $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6,$ y $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4.$ Para la cara $ABC,$ el producto vectorial de $\overrightarrow{AB} = (-6, 4, 0)$ y $\overrightarrow{AC} = (-6, 0, 2)$ es $(8, 12, 24),$ con longitud $4\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = 28,$ así que esa cara tiene área $14.$

Entonces $S = 12 + 6 + 4 + 14 = 36$ y $r = \frac{24}{36} = \frac{2}{3},$ dando $m + n = 2 + 3 = 5.$

Connecting the incenter to the four vertices splits the tetrahedron into four pyramids of height $r$ over the faces, so $V = \frac{1}{3} r S,$ i.e. $r = \frac{3V}{S},$ where $S$ is the total surface area.

Here $V = \frac{1}{6} \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 8.$ The three faces on the coordinate planes are right triangles with areas $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12,$ $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6,$ and $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4.$ For face $ABC,$ the cross product of $\overrightarrow{AB} = (-6, 4, 0)$ and $\overrightarrow{AC} = (-6, 0, 2)$ is $(8, 12, 24),$ with length $4\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = 28,$ so that face has area $14.$

Then $S = 12 + 6 + 4 + 14 = 36$ and $r = \frac{24}{36} = \frac{2}{3},$ giving $m + n = 2 + 3 = 5.$

2001 AIME I Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años