Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

2014 AIME II Problema 12

Intenta el Problema 12 del 2014 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2014 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

Supón que los ángulos de △ABC\triangle ABC satisfacen cos⁡(3A)+cos⁡(3B)\cos(3A) + \cos(3B) +cos⁡(3C)=1.+ \cos(3C) = 1. Dos lados del triángulo tienen longitudes 1010 y 13.13. Existe un entero positivo mm tal que la máxima longitud posible para el lado restante de △ABC\triangle ABC es m.\sqrt{m}. Halla m.m.
Suppose that the angles of △ABC\triangle ABC satisfy cos⁡(3A)+cos⁡(3B)\cos(3A) + \cos(3B) +cos⁡(3C)=1.+ \cos(3C) = 1. Two sides of the triangle have lengths 1010 and 13.13. There is a positive integer mm so that the maximum possible length for the remaining side of △ABC\triangle ABC is m.\sqrt{m}. Find m.m.
Respuesta: 399
Conceptos:identidad trigonométricafactorizaciónley de los cosenos
Nivel de dificultad: 2990
Pista pequeña:
Escribe 1−cos⁡3A=2sin⁡23A21 - \cos 3A = 2\sin^2 \frac{3A}{2} y combina cos⁡3B+cos⁡3C\cos 3B + \cos 3C mediante suma-a-producto; toda la condición se factoriza
Write 1−cos⁡3A=2sin⁡23A21 - \cos 3A = 2\sin^2 \frac{3A}{2} and combine cos⁡3B+cos⁡3C\cos 3B + \cos 3C by sum-to-product; the whole condition factors
Pista grande:
Un ángulo debe ser igual a 120∘.120^\circ. El lado restante es el más largo cuando ese ángulo se encuentra entre los lados de longitudes 1010 y 13.13.
One angle must equal 120∘.120^\circ. The remaining side is longest when that angle lies between the sides of lengths 1010 and 13.13.
Solución:
Usando 1−cos⁡3A=2sin⁡23A21 - \cos 3A = 2\sin^2\frac{3A}{2} y cos⁡3B+cos⁡3C=\cos 3B + \cos 3C = 2cos⁡3(B+C)2cos⁡3(B−C)2,2\cos\frac{3(B+C)}{2}\cos\frac{3(B-C)}{2}, junto con 3(B+C)2=270∘−3A2\frac{3(B+C)}{2} = 270^\circ - \frac{3A}{2} de modo que cos⁡3(B+C)2=−sin⁡3A2,\cos\frac{3(B+C)}{2} = -\sin\frac{3A}{2}, la condición se convierte en 0=2sin⁡3A2⋅(sin⁡3A2+cos⁡3(B−C)2)=2sin⁡3A2⋅(cos⁡3(B−C)2−cos⁡3(B+C)2)=4sin⁡3A2sin⁡3B2sin⁡3C2. \begin{aligned} 0 &= 2\sin\tfrac{3A}{2} \\ &\quad {}\cdot \left(\sin\tfrac{3A}{2} + \cos\tfrac{3(B-C)}{2}\right) \\ &= 2\sin\tfrac{3A}{2} \\ &\quad {}\cdot \left(\cos\tfrac{3(B-C)}{2} - \cos\tfrac{3(B+C)}{2}\right) \\ &= 4\sin\tfrac{3A}{2}\sin\tfrac{3B}{2}\sin\tfrac{3C}{2}. \end{aligned}
Para un ángulo XX de un triángulo, 3X2\frac{3X}{2} está estrictamente entre 0∘0^\circ y 270∘,270^\circ, así que sin⁡3X2=0\sin\frac{3X}{2} = 0 exactamente cuando X=120∘.X = 120^\circ. Por tanto un ángulo del triángulo es 120∘.120^\circ.
El lado restante es el más largo cuando el ángulo de 120∘120^\circ se sitúa entre los lados de longitudes 1010 y 1313 (si 120∘120^\circ estuviera opuesto a uno de ellos, el lado restante sería más corto que ese lado). Por la ley de cosenos su longitud es 102+132+10⋅13=399,\sqrt{10^2 + 13^2 + 10 \cdot 13} = \sqrt{399}, así que m=399.m = 399.
Using 1−cos⁡3A=2sin⁡23A21 - \cos 3A = 2\sin^2\frac{3A}{2} and cos⁡3B+cos⁡3C=\cos 3B + \cos 3C = 2cos⁡3(B+C)2cos⁡3(B−C)2,2\cos\frac{3(B+C)}{2}\cos\frac{3(B-C)}{2}, together with 3(B+C)2=270∘−3A2\frac{3(B+C)}{2} = 270^\circ - \frac{3A}{2} so that cos⁡3(B+C)2=−sin⁡3A2,\cos\frac{3(B+C)}{2} = -\sin\frac{3A}{2}, the condition becomes 0=2sin⁡3A2⋅(sin⁡3A2+cos⁡3(B−C)2)=2sin⁡3A2⋅(cos⁡3(B−C)2−cos⁡3(B+C)2)=4sin⁡3A2sin⁡3B2sin⁡3C2. \begin{aligned} 0 &= 2\sin\tfrac{3A}{2} \\ &\quad {}\cdot \left(\sin\tfrac{3A}{2} + \cos\tfrac{3(B-C)}{2}\right) \\ &= 2\sin\tfrac{3A}{2} \\ &\quad {}\cdot \left(\cos\tfrac{3(B-C)}{2} - \cos\tfrac{3(B+C)}{2}\right) \\ &= 4\sin\tfrac{3A}{2}\sin\tfrac{3B}{2}\sin\tfrac{3C}{2}. \end{aligned}
For an angle XX of a triangle, 3X2\frac{3X}{2} lies strictly between 0∘0^\circ and 270∘,270^\circ, so sin⁡3X2=0\sin\frac{3X}{2} = 0 exactly when X=120∘.X = 120^\circ. Hence one angle of the triangle is 120∘.120^\circ.
The remaining side is longest when the 120∘120^\circ angle sits between the sides of lengths 1010 and 1313 (if 120∘120^\circ were opposite one of them, the remaining side would be shorter than that side). By the law of cosines its length is 102+132+10⋅13=399,\sqrt{10^2 + 13^2 + 10 \cdot 13} = \sqrt{399}, so m=399.m = 399.
Problema 11#11
Examen completo
Problema 13#13

El Problema 12 en otros años

1983 AIME · 1984 AIME · 1985 AIME · 1986 AIME · 1987 AIME · 1988 AIME · 1989 AIME · 1990 AIME · 1991 AIME · 1992 AIME · 1993 AIME · 1994 AIME · 1995 AIME · 1996 AIME · 1997 AIME · 1998 AIME · 1999 AIME · 2000 AIME I · 2000 AIME II · 2001 AIME I · 2001 AIME II · 2002 AIME I · 2002 AIME II · 2003 AIME I · 2003 AIME II · 2004 AIME I · 2004 AIME II · 2005 AIME I · 2005 AIME II · 2006 AIME I · 2006 AIME II · 2007 AIME I · 2007 AIME II · 2008 AIME I · 2008 AIME II · 2009 AIME I · 2009 AIME II · 2010 AIME I · 2010 AIME II · 2011 AIME I · 2011 AIME II · 2012 AIME I · 2012 AIME II · 2013 AIME I · 2013 AIME II · 2014 AIME I · 2015 AIME I · 2015 AIME II · 2016 AIME I · 2016 AIME II · 2017 AIME I · 2017 AIME II · 2018 AIME I · 2018 AIME II · 2019 AIME I · 2019 AIME II · 2020 AIME I · 2020 AIME II · 2021 AIME I · 2021 AIME II · 2022 AIME I · 2022 AIME II · 2023 AIME I · 2023 AIME II · 2024 AIME I · 2024 AIME II · 2025 AIME I · 2025 AIME II · 2026 AIME I · 2026 AIME II