Question

Supón que los ángulos de $\triangle ABC$ satisfacen $\cos(3A) + \cos(3B)$ $+ \cos(3C) = 1.$ Dos lados del triángulo tienen longitudes $10$ y $13.$ Existe un entero positivo $m$ tal que la máxima longitud posible para el lado restante de $\triangle ABC$ es $\sqrt{m}.$ Halla $m.$

Suppose that the angles of $\triangle ABC$ satisfy $\cos(3A) + \cos(3B)$ $+ \cos(3C) = 1.$ Two sides of the triangle have lengths $10$ and $13.$ There is a positive integer $m$ so that the maximum possible length for the remaining side of $\triangle ABC$ is $\sqrt{m}.$ Find $m.$

Respuesta

Solución:

Usando $1 - \cos 3A = 2\sin^2\frac{3A}{2}$ y $\cos 3B + \cos 3C =$ $2\cos\frac{3(B+C)}{2}\cos\frac{3(B-C)}{2},$ junto con $\frac{3(B+C)}{2} = 270^\circ - \frac{3A}{2}$ de modo que $\cos\frac{3(B+C)}{2} = -\sin\frac{3A}{2},$ la condición se convierte en $\begin{aligned} 0 &= 2\sin\tfrac{3A}{2} \\ &\quad {}\cdot \left(\sin\tfrac{3A}{2} + \cos\tfrac{3(B-C)}{2}\right) \\ &= 2\sin\tfrac{3A}{2} \\ &\quad {}\cdot \left(\cos\tfrac{3(B-C)}{2} - \cos\tfrac{3(B+C)}{2}\right) \\ &= 4\sin\tfrac{3A}{2}\sin\tfrac{3B}{2}\sin\tfrac{3C}{2}. \end{aligned}$

Para un ángulo $X$ de un triángulo, $\frac{3X}{2}$ está estrictamente entre $0^\circ$ y $270^\circ,$ así que $\sin\frac{3X}{2} = 0$ exactamente cuando $X = 120^\circ.$ Por tanto un ángulo del triángulo es $120^\circ.$

El lado restante es el más largo cuando el ángulo de $120^\circ$ se sitúa entre los lados de longitudes $10$ y $13$ (si $120^\circ$ estuviera opuesto a uno de ellos, el lado restante sería más corto que ese lado). Por la ley de cosenos su longitud es $\sqrt{10^2 + 13^2 + 10 \cdot 13} = \sqrt{399},$ así que $m = 399.$

Using $1 - \cos 3A = 2\sin^2\frac{3A}{2}$ and $\cos 3B + \cos 3C =$ $2\cos\frac{3(B+C)}{2}\cos\frac{3(B-C)}{2},$ together with $\frac{3(B+C)}{2} = 270^\circ - \frac{3A}{2}$ so that $\cos\frac{3(B+C)}{2} = -\sin\frac{3A}{2},$ the condition becomes $\begin{aligned} 0 &= 2\sin\tfrac{3A}{2} \\ &\quad {}\cdot \left(\sin\tfrac{3A}{2} + \cos\tfrac{3(B-C)}{2}\right) \\ &= 2\sin\tfrac{3A}{2} \\ &\quad {}\cdot \left(\cos\tfrac{3(B-C)}{2} - \cos\tfrac{3(B+C)}{2}\right) \\ &= 4\sin\tfrac{3A}{2}\sin\tfrac{3B}{2}\sin\tfrac{3C}{2}. \end{aligned}$

For an angle $X$ of a triangle, $\frac{3X}{2}$ lies strictly between $0^\circ$ and $270^\circ,$ so $\sin\frac{3X}{2} = 0$ exactly when $X = 120^\circ.$ Hence one angle of the triangle is $120^\circ.$

The remaining side is longest when the $120^\circ$ angle sits between the sides of lengths $10$ and $13$ (if $120^\circ$ were opposite one of them, the remaining side would be shorter than that side). By the law of cosines its length is $\sqrt{10^2 + 13^2 + 10 \cdot 13} = \sqrt{399},$ so $m = 399.$

2014 AIME II Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años