Question

Seis hombres y cierto número de mujeres se colocan en fila en orden aleatorio. Sea $p$ la probabilidad de que un grupo de al menos cuatro hombres estén juntos en la fila, dado que cada hombre está junto a al menos otro hombre. Halla el menor número de mujeres en la fila tal que $p$ no exceda el $1$ por ciento.

Six men and some number of women stand in a line in random order. Let $p$ be the probability that a group of at least four men stand together in the line, given that every man stands next to at least one other man. Find the least number of women in the line such that $p$ does not exceed $1$ percent.

Respuesta

Solución:

Sea $n$ el número de mujeres; solo importa el patrón de las posiciones de hombres y mujeres. Si cada hombre está junto a otro hombre, los hombres forman bloques maximales cuyos tamaños, en orden, son $2+2+2,$ $2+4,$ $4+2,$ $3+3,$ o $6.$ Un patrón con $j$ bloques equivale a elegir $j$ de los $n + 1$ huecos determinados por las mujeres, así que hay $\binom{n+1}{3}$ patrones para $2+2+2,$ $\binom{n+1}{2}$ para cada uno de los tres órdenes de dos bloques, y $n + 1$ para un solo bloque.

Al menos cuatro hombres están juntos en los órdenes $2+4,$ $4+2,$ y $6,$ así que $\begin{aligned} p &= \frac{2\binom{n+1}{2} + (n+1)}{\binom{n+1}{3} + 3\binom{n+1}{2} + (n+1)} \\ &= \frac{(n+1)^2}{\frac{(n+1)(n^2 + 8n + 6)}{6}} \\ &= \frac{6(n+1)}{n^2 + 8n + 6}. \end{aligned}$

La condición $p \le \frac{1}{100}$ se convierte en $f(n) = n^2 - 592n - 594 \ge 0.$ Como $f(593) = 593 - 594 = -1 \lt 0$ y $f(594) = 2 \cdot 594 - 594$ $= 594 \gt 0,$ el menor número de mujeres es $594.$

Let $n$ be the number of women; only the pattern of men's and women's positions matters. If every man stands next to another man, the men form maximal blocks whose sizes, in order, are $2+2+2,$ $2+4,$ $4+2,$ $3+3,$ or $6.$ A pattern with $j$ blocks amounts to choosing $j$ of the $n + 1$ gaps determined by the women, so there are $\binom{n+1}{3}$ patterns for $2+2+2,$ $\binom{n+1}{2}$ for each of the three two-block orders, and $n + 1$ for a single block.

At least four men stand together in the orders $2+4,$ $4+2,$ and $6,$ so $\begin{aligned} p &= \frac{2\binom{n+1}{2} + (n+1)}{\binom{n+1}{3} + 3\binom{n+1}{2} + (n+1)} \\ &= \frac{(n+1)^2}{\frac{(n+1)(n^2 + 8n + 6)}{6}} \\ &= \frac{6(n+1)}{n^2 + 8n + 6}. \end{aligned}$

The condition $p \le \frac{1}{100}$ becomes $f(n) = n^2 - 592n - 594 \ge 0.$ Since $f(593) = 593 - 594 = -1 \lt 0$ and $f(594) = 2 \cdot 594 - 594$ $= 594 \gt 0,$ the least number of women is $594.$

2011 AIME I Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años