Question

En un tramo largo y recto de una autopista de un solo sentido y un solo carril, todos los coches viajan a la misma velocidad y todos obedecen la regla de seguridad: la distancia desde la parte trasera del coche de delante hasta la parte delantera del coche de detrás es exactamente la longitud de un coche por cada $15$ kilómetros por hora de velocidad o fracción de ella. (Así, la parte delantera de un coche que viaja a $52$ kilómetros por hora estará cuatro longitudes de coche por detrás de la parte trasera del coche que va delante de él.)

Un ojo fotoeléctrico al costado de la carretera cuenta el número de coches que pasan en una hora. Suponiendo que cada coche mide $4$ metros de largo y que los coches pueden viajar a cualquier velocidad, sea $M$ el máximo número entero de coches que pueden pasar por el ojo fotoeléctrico en una hora. Halla el cociente cuando $M$ se divide entre $10.$

On a long straight stretch of one-way single-lane highway, cars all travel at the same speed and all obey the safety rule: the distance from the back of the car ahead to the front of the car behind is exactly one car length for each $15$ kilometers per hour of speed or fraction thereof. (Thus the front of a car traveling $52$ kilometers per hour will be four car lengths behind the back of the car in front of it.)

A photoelectric eye by the side of the road counts the number of cars that pass in one hour. Assuming that each car is $4$ meters long and that the cars can travel at any speed, let $M$ be the maximum whole number of cars that can pass the photoelectric eye in one hour. Find the quotient when $M$ is divided by $10.$

Respuesta

Solución:

Supongamos que los coches viajan a $s$ kilómetros por hora. El hueco es de $\lceil s/15 \rceil$ longitudes de coche, así que las delanteras sucesivas están separadas $4\lceil s/15 \rceil + 4$ metros, y en una hora una columna de $1000s$ metros de tráfico pasa por el ojo, es decir, $N = \frac{1000s}{4\lceil s/15 \rceil + 4} = \frac{250s}{\lceil s/15 \rceil + 1}$ huecos por hora.

Para un valor fijo $k = \lceil s/15 \rceil,$ el conteo $N$ es máximo en $s = 15k,$ donde es igual a $\frac{3750k}{k + 1}.$ Esto siempre es menor que $3750$ pero se aproxima a $3750$ a medida que $k$ crece. Aunque el número de huecos nunca alcanza $3750,$ el conteo de coches sí puede: elige $k$ tan grande que pasen más de $3749$ huecos, y comienza la hora con un coche exactamente en el ojo. Ese coche, más un coche por cada uno de los $3749$ huecos completos que siguen, da $3750$ coches.

Así que $M = 3750,$ y el cociente cuando $M$ se divide entre $10$ es $375.$

Suppose the cars travel at $s$ kilometers per hour. The gap is $\lceil s/15 \rceil$ car lengths, so successive fronts are $4\lceil s/15 \rceil + 4$ meters apart, and in one hour a column of $1000s$ meters of traffic passes the eye — that is, $N = \frac{1000s}{4\lceil s/15 \rceil + 4} = \frac{250s}{\lceil s/15 \rceil + 1}$ gaps per hour.

For a fixed value $k = \lceil s/15 \rceil,$ the count $N$ is largest at $s = 15k,$ where it equals $\frac{3750k}{k + 1}.$ This is always less than $3750$ but approaches $3750$ as $k$ grows. Although the gap count never reaches $3750,$ the car count can: choose $k$ so large that more than $3749$ gaps pass, and start the hour with a car exactly at the eye. That car, plus one car for each of the $3749$ complete gaps that follow, makes $3750$ cars.

So $M = 3750,$ and the quotient when $M$ is divided by $10$ is $375.$

2008 AIME I Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años