Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

2023 AIME II Problema 12

Intenta el Problema 12 del 2023 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2023 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

En △ABC\triangle ABC con longitudes de lado AB=13,AB = 13, BC=14,BC = 14, y CA=15,CA = 15, sea MM el punto medio de BC‾.\overline{BC}. Sea PP el punto de la circunferencia circunscrita de △ABC\triangle ABC tal que MM está sobre AP‾.\overline{AP}. Existe un único punto QQ sobre el segmento AM‾\overline{AM} tal que ∠PBQ=∠PCQ.\angle PBQ = \angle PCQ. Entonces AQAQ puede escribirse como mn,\frac{m}{\sqrt{n}}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí. Halla m+n.m + n.
In △ABC\triangle ABC with side lengths AB=13,AB = 13, BC=14,BC = 14, and CA=15,CA = 15, let MM be the midpoint of BC‾.\overline{BC}. Let PP be the point on the circumcircle of △ABC\triangle ABC such that MM is on AP‾.\overline{AP}. There exists a unique point QQ on segment AM‾\overline{AM} such that ∠PBQ=∠PCQ.\angle PBQ = \angle PCQ. Then AQAQ can be written as mn,\frac{m}{\sqrt{n}}, where mm and nn are relatively prime positive integers. Find m+n.m + n.
Respuesta: 247
Conceptos:geometría analíticapotencia de un puntovector
Nivel de dificultad: 3160
Pista pequeña:
Usa las coordenadas B=(0,0),B = (0, 0), C=(14,0),C = (14, 0), A=(5,12);A = (5, 12); la potencia del punto MM da MA⋅MP=MB⋅MC=49MA \cdot MP = MB \cdot MC = 49
Use coordinates B=(0,0),B = (0, 0), C=(14,0),C = (14, 0), A=(5,12);A = (5, 12); power of the point MM gives MA⋅MP=MB⋅MC=49MA \cdot MP = MB \cdot MC = 49
Pista grande:
Iguala tan⁡∠PBQ\tan\angle PBQ y tan⁡∠PCQ\tan\angle PCQ usando productos vectoriales y escalares; los dos productos vectoriales son proporcionales, dejando una ecuación lineal en QQ
Equate tan⁡∠PBQ\tan\angle PBQ and tan⁡∠PCQ\tan\angle PCQ using cross and dot products; the two cross products are proportional, leaving an equation linear in QQ
Solución:
Coloca B=(0,0),B = (0, 0), C=(14,0),C = (14, 0), A=(5,12),A = (5, 12), así que M=(7,0)M = (7, 0) y AM=4+144=237.AM = \sqrt{4 + 144} = 2\sqrt{37}. Por la potencia del punto MM en la circunferencia circunscrita, MA⋅MP=MB⋅MC=49,MA \cdot MP = MB \cdot MC = 49, así que MP=49237MP = \frac{49}{2\sqrt{37}} y prolongar A→MA \to M esa longitud da P=(56774,−14737).P = \left(\frac{567}{74}, -\frac{147}{37}\right). La dirección de BP→\overrightarrow{BP} es proporcional a (27,−14),(27, -14), y la dirección de CP→\overrightarrow{CP} es proporcional a −(67,42).-(67, 42).
Escribe Q=(5+2t, 12−12t)Q = (5 + 2t,\ 12 - 12t) para t∈(0,1),t \in (0, 1), de modo que AQ=t⋅AM.AQ = t \cdot AM. Usando tan⁡θ=∣u×v∣u⋅v\tan\theta = \frac{|u \times v|}{u \cdot v} para el ángulo entre semirrectas, tan⁡∠PBQ=394−296t222t−33,tan⁡∠PCQ=1182−888t370t+99, \begin{gathered} \tan\angle PBQ = \frac{394 - 296t}{222t - 33}, \\ \tan\angle PCQ = \frac{1182 - 888t}{370t + 99}, \end{gathered} y el segundo numerador es exactamente 3(394−296t).3(394 - 296t). Igualar las dos tangentes cancela este factor común y deja 370t+99=3(222t−33),370t + 99 = 3(222t - 33), así que 296t=198296t = 198 y t=99148.t = \frac{99}{148}.
Entonces AQ=99148⋅237AQ = \frac{99}{148} \cdot 2\sqrt{37} =99148148= \frac{99}{148}\sqrt{148} =99148,= \frac{99}{\sqrt{148}}, y como gcd⁡(99,148)=1,\gcd(99, 148) = 1, la respuesta es 99+148=247.99 + 148 = 247.
Place B=(0,0),B = (0, 0), C=(14,0),C = (14, 0), A=(5,12),A = (5, 12), so M=(7,0)M = (7, 0) and AM=4+144=237.AM = \sqrt{4 + 144} = 2\sqrt{37}. By power of the point MM in the circumcircle, MA⋅MP=MB⋅MC=49,MA \cdot MP = MB \cdot MC = 49, so MP=49237MP = \frac{49}{2\sqrt{37}} and extending A→MA \to M by that length gives P=(56774,−14737).P = \left(\frac{567}{74}, -\frac{147}{37}\right). The direction of BP→\overrightarrow{BP} is proportional to (27,−14),(27, -14), and the direction of CP→\overrightarrow{CP} is proportional to −(67,42).-(67, 42).
Write Q=(5+2t, 12−12t)Q = (5 + 2t,\ 12 - 12t) for t∈(0,1),t \in (0, 1), so that AQ=t⋅AM.AQ = t \cdot AM. Using tan⁡θ=∣u×v∣u⋅v\tan\theta = \frac{|u \times v|}{u \cdot v} for the angle between rays, tan⁡∠PBQ=394−296t222t−33,tan⁡∠PCQ=1182−888t370t+99, \begin{gathered} \tan\angle PBQ = \frac{394 - 296t}{222t - 33}, \\ \tan\angle PCQ = \frac{1182 - 888t}{370t + 99}, \end{gathered} and the second numerator is exactly 3(394−296t).3(394 - 296t). Setting the two tangents equal cancels this common factor and leaves 370t+99=3(222t−33),370t + 99 = 3(222t - 33), so 296t=198296t = 198 and t=99148.t = \frac{99}{148}.
Then AQ=99148⋅237AQ = \frac{99}{148} \cdot 2\sqrt{37} =99148148= \frac{99}{148}\sqrt{148} =99148,= \frac{99}{\sqrt{148}}, and since gcd⁡(99,148)=1,\gcd(99, 148) = 1, the answer is 99+148=247.99 + 148 = 247.
Problema 11#11
Examen completo
Problema 13#13

El Problema 12 en otros años

1983 AIME · 1984 AIME · 1985 AIME · 1986 AIME · 1987 AIME · 1988 AIME · 1989 AIME · 1990 AIME · 1991 AIME · 1992 AIME · 1993 AIME · 1994 AIME · 1995 AIME · 1996 AIME · 1997 AIME · 1998 AIME · 1999 AIME · 2000 AIME I · 2000 AIME II · 2001 AIME I · 2001 AIME II · 2002 AIME I · 2002 AIME II · 2003 AIME I · 2003 AIME II · 2004 AIME I · 2004 AIME II · 2005 AIME I · 2005 AIME II · 2006 AIME I · 2006 AIME II · 2007 AIME I · 2007 AIME II · 2008 AIME I · 2008 AIME II · 2009 AIME I · 2009 AIME II · 2010 AIME I · 2010 AIME II · 2011 AIME I · 2011 AIME II · 2012 AIME I · 2012 AIME II · 2013 AIME I · 2013 AIME II · 2014 AIME I · 2014 AIME II · 2015 AIME I · 2015 AIME II · 2016 AIME I · 2016 AIME II · 2017 AIME I · 2017 AIME II · 2018 AIME I · 2018 AIME II · 2019 AIME I · 2019 AIME II · 2020 AIME I · 2020 AIME II · 2021 AIME I · 2021 AIME II · 2022 AIME I · 2022 AIME II · 2023 AIME I · 2024 AIME I · 2024 AIME II · 2025 AIME I · 2025 AIME II · 2026 AIME I · 2026 AIME II