Question

En $\triangle ABC$ con longitudes de lado $AB = 13,$ $BC = 14,$ y $CA = 15,$ sea $M$ el punto medio de $\overline{BC}.$ Sea $P$ el punto de la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ tal que $M$ está sobre $\overline{AP}.$ Existe un único punto $Q$ sobre el segmento $\overline{AM}$ tal que $\angle PBQ = \angle PCQ.$ Entonces $AQ$ puede escribirse como $\frac{m}{\sqrt{n}},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

In $\triangle ABC$ with side lengths $AB = 13,$ $BC = 14,$ and $CA = 15,$ let $M$ be the midpoint of $\overline{BC}.$ Let $P$ be the point on the circumcircle of $\triangle ABC$ such that $M$ is on $\overline{AP}.$ There exists a unique point $Q$ on segment $\overline{AM}$ such that $\angle PBQ = \angle PCQ.$ Then $AQ$ can be written as $\frac{m}{\sqrt{n}},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Coloca $B = (0, 0),$ $C = (14, 0),$ $A = (5, 12),$ así que $M = (7, 0)$ y $AM = \sqrt{4 + 144} = 2\sqrt{37}.$ Por la potencia del punto $M$ en la circunferencia circunscrita, $MA \cdot MP = MB \cdot MC = 49,$ así que $MP = \frac{49}{2\sqrt{37}}$ y prolongar $A \to M$ esa longitud da $P = \left(\frac{567}{74}, -\frac{147}{37}\right).$ La dirección de $\overrightarrow{BP}$ es proporcional a $(27, -14),$ y la dirección de $\overrightarrow{CP}$ es proporcional a $-(67, 42).$

Escribe $Q = (5 + 2t,\ 12 - 12t)$ para $t \in (0, 1),$ de modo que $AQ = t \cdot AM.$ Usando $\tan\theta = \frac{|u \times v|}{u \cdot v}$ para el ángulo entre semirrectas, $\begin{gathered} \tan\angle PBQ = \frac{394 - 296t}{222t - 33}, \\ \tan\angle PCQ = \frac{1182 - 888t}{370t + 99}, \end{gathered}$ y el segundo numerador es exactamente $3(394 - 296t).$ Igualar las dos tangentes cancela este factor común y deja $370t + 99 = 3(222t - 33),$ así que $296t = 198$ y $t = \frac{99}{148}.$

Entonces $AQ = \frac{99}{148} \cdot 2\sqrt{37}$ $= \frac{99}{148}\sqrt{148}$ $= \frac{99}{\sqrt{148}},$ y como $\gcd(99, 148) = 1,$ la respuesta es $99 + 148 = 247.$

Place $B = (0, 0),$ $C = (14, 0),$ $A = (5, 12),$ so $M = (7, 0)$ and $AM = \sqrt{4 + 144} = 2\sqrt{37}.$ By power of the point $M$ in the circumcircle, $MA \cdot MP = MB \cdot MC = 49,$ so $MP = \frac{49}{2\sqrt{37}}$ and extending $A \to M$ by that length gives $P = \left(\frac{567}{74}, -\frac{147}{37}\right).$ The direction of $\overrightarrow{BP}$ is proportional to $(27, -14),$ and the direction of $\overrightarrow{CP}$ is proportional to $-(67, 42).$

Write $Q = (5 + 2t,\ 12 - 12t)$ for $t \in (0, 1),$ so that $AQ = t \cdot AM.$ Using $\tan\theta = \frac{|u \times v|}{u \cdot v}$ for the angle between rays, $\begin{gathered} \tan\angle PBQ = \frac{394 - 296t}{222t - 33}, \\ \tan\angle PCQ = \frac{1182 - 888t}{370t + 99}, \end{gathered}$ and the second numerator is exactly $3(394 - 296t).$ Setting the two tangents equal cancels this common factor and leaves $370t + 99 = 3(222t - 33),$ so $296t = 198$ and $t = \frac{99}{148}.$

Then $AQ = \frac{99}{148} \cdot 2\sqrt{37}$ $= \frac{99}{148}\sqrt{148}$ $= \frac{99}{\sqrt{148}},$ and since $\gcd(99, 148) = 1,$ the answer is $99 + 148 = 247.$

2023 AIME II Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años