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1995 AIME Problema 12

Intenta el Problema 12 del 1995 AIME a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1995 AIME, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

La pirámide OABCDOABCD tiene base cuadrada ABCD,ABCD, aristas congruentes OA‾,\overline{OA}, OB‾,\overline{OB}, OC‾,\overline{OC}, y OD‾,\overline{OD}, y ∠AOB=45∘.\angle AOB=45^\circ. Sea θ\theta la medida del ángulo diedro formado por las caras OABOAB y OBC.OBC. Dado que cos⁡θ=m+n,\cos\theta=m+\sqrt n, donde mm y nn son enteros, halla m+n.m+n.

Pyramid OABCDOABCD has square base ABCD,ABCD, congruent edges OA‾,\overline{OA}, OB‾,\overline{OB}, OC‾,\overline{OC}, and OD‾,\overline{OD}, and ∠AOB=45∘.\angle AOB=45^\circ. Let θ\theta be the measure of the dihedral angle formed by faces OABOAB and OBC.OBC. Given that cos⁡θ=m+n,\cos\theta=m+\sqrt n, where mm and nn are integers, find m+n.m+n.

Respuesta: 5
Conceptos:Geometría 3Dgeometría analíticavector
Nivel de dificultad: 2450
Pista pequeña:

Coloca los vértices del cuadrado en (±1,±1,0)(\pm1,\pm1,0) y el vértice de la pirámide en (0,0,h)(0,0,h)

Place the square’s vertices at (±1,±1,0)(\pm1,\pm1,0) and the apex at (0,0,h)(0,0,h)

Pista grande:

Halla h2h^2 a partir de ∠AOB,\angle AOB, y luego toma el suplemento del ángulo entre normales adecuadas a las caras

Find h2h^2 from ∠AOB,\angle AOB, then take the supplement of the angle between suitable face normals

Solución:

Toma los vértices adyacentes de la base A=(1,1,0),A=(1,1,0), B=(−1,1,0),B=(-1,1,0), C=(−1,−1,0)C=(-1,-1,0) y O=(0,0,h).O=(0,0,h). A partir de ∠AOB=45∘,\angle AOB=45^\circ, h2h2+2=12,h2=2+22.\begin{aligned}\frac{h^2}{h^2+2}&=\frac1{\sqrt2},\\h^2&=2+2\sqrt2.\end{aligned} Se pueden tomar como normales a las dos caras (0,2h,2)(0,2h,2) y (−2h,0,2).(-2h,0,2). El coseno de su ángulo agudo es 1h2+1=3−22.\frac{1}{h^2+1}=3-2\sqrt2. El ángulo diedro interior es su suplemento, así que cos⁡θ=22−3=−3+8.\cos\theta=2\sqrt2-3=-3+\sqrt8. Por lo tanto, m+n=−3+8=5.m+n=-3+8=5.

Take adjacent base vertices A=(1,1,0),A=(1,1,0), B=(−1,1,0),B=(-1,1,0), C=(−1,−1,0)C=(-1,-1,0) and O=(0,0,h).O=(0,0,h). From ∠AOB=45∘,\angle AOB=45^\circ, h2h2+2=12,h2=2+22.\begin{aligned}\frac{h^2}{h^2+2}&=\frac1{\sqrt2},\\h^2&=2+2\sqrt2.\end{aligned} Normals to the two faces may be taken as (0,2h,2)(0,2h,2) and (−2h,0,2).(-2h,0,2). Their acute angle has cosine 1h2+1=3−22.\frac{1}{h^2+1}=3-2\sqrt2. The interior dihedral angle is its supplement, so cos⁡θ=22−3=−3+8.\cos\theta=2\sqrt2-3=-3+\sqrt8. Thus m+n=−3+8=5.m+n=-3+8=5.

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