Question

Un polígono regular de $12$ lados está inscrito en una circunferencia de radio $12.$ La suma de las longitudes de todos los lados y diagonales del polígono de $12$ lados puede escribirse en la forma $a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6,$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son enteros positivos. Halla $a+b+c+d.$

A regular $12$ -gon is inscribed in a circle of radius $12.$ The sum of the lengths of all sides and diagonals of the $12$ -gon can be written in the form $a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6,$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers. Find $a+b+c+d.$

Respuesta

Respuesta: 720

Conceptos:cuerda triángulo rectángulo especial sumatoria

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Agrupa las cuerdas según el número de pasos entre vértices $k,$ donde $k$ es $1,$ $2,$ $\ldots,$ o $6$

Group the chords by the number of vertex steps $k,$ where $k$ is $1,$ $2,$ $\ldots,$ or $6$

Pista grande:

Para $k\lt6$ hay $12$ cuerdas de longitud $24\sin(\frac{k\pi}{12}),$ mientras que hay $6$ diámetros

For $k\lt6$ there are $12$ chords of length $24\sin(\frac{k\pi}{12}),$ while there are $6$ diameters

Solución:

Para $k$ igual a $1,$ $2,$ $\ldots,$ y $5,$ hay $12$ cuerdas de longitud $24\sin(\frac{k\pi}{12}),$ y hay $6$ diámetros de longitud $24.$ Las cinco longitudes de cuerda son $\begin{gathered}6(\sqrt6-\sqrt2),\quad12,\quad12\sqrt2,\\12\sqrt3,\quad6(\sqrt6+\sqrt2).\end{gathered}$ Su suma $U$ es $\begin{aligned}U&=12+12\sqrt2\\&\quad+12\sqrt3+12\sqrt6.\end{aligned}$ Por lo tanto, el total es $\begin{aligned}12U+6(24)&=288+144\sqrt2\\&\quad+144\sqrt3\\&\quad+144\sqrt6.\end{aligned}$ Así, $a=288$ y $b=c=d=144,$ por lo que $a+b+c+d=720.$

For $k$ equal to $1,$ $2,$ $\ldots,$ and $5,$ there are $12$ chords of length $24\sin(\frac{k\pi}{12}),$ and there are $6$ diameters of length $24.$ The five chord lengths are $\begin{gathered}6(\sqrt6-\sqrt2),\quad12,\quad12\sqrt2,\\12\sqrt3,\quad6(\sqrt6+\sqrt2).\end{gathered}$ Their sum $U$ is $\begin{aligned}U&=12+12\sqrt2\\&\quad+12\sqrt3+12\sqrt6.\end{aligned}$ Therefore the total is $\begin{aligned}12U+6(24)&=288+144\sqrt2\\&\quad+144\sqrt3\\&\quad+144\sqrt6.\end{aligned}$ Hence $a=288$ and $b=c=d=144,$ so $a+b+c+d=720.$

1990 AIME Problema 12

Respuesta: 720

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 12 en otros años