Question

一个正 $12$ 边形内接于半径为 $12$ 的圆。该正 $12$ 边形所有边和对角线的长度之和可写成 $a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6\text{，}$ 其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 均为正整数。求 $a+b+c+d$ 。

A regular $12$ -gon is inscribed in a circle of radius $12.$ The sum of the lengths of all sides and diagonals of the $12$ -gon can be written in the form $a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6,$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers. Find $a+b+c+d.$

答案

答案：720

知识点：弦特殊直角三角形求和

难度评级：2380

小提示：

按弦跨过的顶点步数 $k$ 分组，其中 $k$ 为 $1$ 、 $2$ 、 $\ldots$ 或 $6$

Group the chords by the number of vertex steps $k,$ where $k$ is $1,$ $2,$ $\ldots,$ or $6$

大提示：

当 $k\lt6$ 时，有 $12$ 条长度为 $24\sin(\frac{k\pi}{12})$ 的弦；此外还有 $6$ 条直径

For $k\lt6$ there are $12$ chords of length $24\sin(\frac{k\pi}{12}),$ while there are $6$ diameters

解答：

当 $k$ 分别等于 $1$ 、 $2$ 、 $\ldots$ 和 $5$ 时，每种都有 $12$ 条长度为 $24\sin(\frac{k\pi}{12})$ 的弦；另有 $6$ 条长度为 $24$ 的直径。这五种弦长为 $\begin{gathered}6(\sqrt6-\sqrt2),\quad12,\quad12\sqrt2,\\12\sqrt3,\quad6(\sqrt6+\sqrt2)\end{gathered}\text{。}$ 它们的和 $U$ 为 $\begin{aligned}U&=12+12\sqrt2\\&\quad+12\sqrt3+12\sqrt6\end{aligned}\text{。}$ 因此总长度为 $\begin{aligned}12U+6(24)&=288+144\sqrt2\\&\quad+144\sqrt3\\&\quad+144\sqrt6\end{aligned}\text{。}$ 所以 $a=288$ ，且 $b=c=d=144$ ，从而 $a+b+c+d=720$ 。

For $k$ equal to $1,$ $2,$ $\ldots,$ and $5,$ there are $12$ chords of length $24\sin(\frac{k\pi}{12}),$ and there are $6$ diameters of length $24.$ The five chord lengths are $\begin{gathered}6(\sqrt6-\sqrt2),\quad12,\quad12\sqrt2,\\12\sqrt3,\quad6(\sqrt6+\sqrt2).\end{gathered}$ Their sum $U$ is $\begin{aligned}U&=12+12\sqrt2\\&\quad+12\sqrt3+12\sqrt6.\end{aligned}$ Therefore the total is $\begin{aligned}12U+6(24)&=288+144\sqrt2\\&\quad+144\sqrt3\\&\quad+144\sqrt6.\end{aligned}$ Hence $a=288$ and $b=c=d=144,$ so $a+b+c+d=720.$

1990 AIME 第 12 题

答案：720

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

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