Question

设 $\triangle ABC$ 是直角三角形，直角在 $C$ 。点 $D$ 和 $E$ 在 $\overline{AB}$ 上，且 $D$ 位于 $A$ 与 $E$ 之间，并且 $\overline{CD}$ 与 $\overline{CE}$ 三等分 $\angle C$ 。若 $\frac{DE}{BE} = \frac{8}{15}$ ，则 $\tan B$ 可写成 $\frac{m\sqrt{p}}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质正整数， $p$ 是不被任何素数平方整除的正整数。求 $m + n + p$ 。

Let $\triangle ABC$ be a right triangle with right angle at $C.$ Let $D$ and $E$ be points on $\overline{AB}$ with $D$ between $A$ and $E$ such that $\overline{CD}$ and $\overline{CE}$ trisect $\angle C.$ If $\frac{DE}{BE} = \frac{8}{15},$ then $\tan B$ can be written as $\frac{m\sqrt{p}}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, and $p$ is a positive integer not divisible by the square of any prime. Find $m + n + p.$

答案

答案：18

知识点：角平分线定理余弦定理三角学

难度评级：2840

小提示：

在三角形 $DCB$ 中，射线 $CE$ 平分角 $DCB$ ，该角为 $60^\circ$ ，所以 $\frac{CD}{CB} = \frac{DE}{EB} = \frac{8}{15}$

In triangle $DCB,$ ray $CE$ bisects angle $DCB,$ which measures $60^\circ,$ so $\frac{CD}{CB} = \frac{DE}{EB} = \frac{8}{15}$

大提示：

取 $CD = 8$ 、 $CB = 15$ ；用余弦定理求出 $BD$ ，再用一次余弦定理求 $\cos B$

Take $CD = 8$ and $CB = 15;$ the Law of Cosines gives $BD,$ and a second application gives $\cos B$

解答：

两条三等分线使 $\angle ACD = \angle DCE = \angle ECB$ $= 30^\circ$ 。在三角形 $DCB$ 中，射线 $CE$ 平分角 $DCB$ ，该角为 $60^\circ$ ，所以由角平分线定理， $\frac{CD}{CB} = \frac{DE}{EB} = \frac{8}{15}$ 。把三角形按比例放大或缩小，使 $CD = 8$ 、 $CB = 15$ 。

在三角形 $DCB$ 中用余弦定理， $\begin{aligned} BD^2 &= 8^2 + 15^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 8 \cdot 15 \cos 60^\circ \\ &= 169 \end{aligned}\text{，}$ 所以 $BD = 13$ 。在同一三角形中再用余弦定理， $8^2 = 13^2 + 15^2 - 2 \cdot 13 \cdot 15 \cos B$ ，得到 $\cos B = \frac{11}{13}$ 。

因此 $\sin B = \sqrt{1 - \frac{121}{169}} = \frac{4\sqrt{3}}{13}$ ，所以 $\tan B = \frac{4\sqrt{3}}{11}$ ，并且 $m + n + p = 4 + 11 + 3 = 18$ 。

The trisectors make $\angle ACD = \angle DCE = \angle ECB$ $= 30^\circ.$ In triangle $DCB,$ ray $CE$ bisects angle $DCB,$ which measures $60^\circ,$ so the angle bisector theorem gives $\frac{CD}{CB} = \frac{DE}{EB} = \frac{8}{15}.$ Scale the triangle so that $CD = 8$ and $CB = 15.$

By the Law of Cosines in triangle $DCB,$ $\begin{aligned} BD^2 &= 8^2 + 15^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 8 \cdot 15 \cos 60^\circ \\ &= 169, \end{aligned}$ so $BD = 13.$ Applying the Law of Cosines again in the same triangle, $8^2 = 13^2 + 15^2 - 2 \cdot 13 \cdot 15 \cos B,$ which gives $\cos B = \frac{11}{13}.$

Then $\sin B = \sqrt{1 - \frac{121}{169}} = \frac{4\sqrt{3}}{13},$ so $\tan B = \frac{4\sqrt{3}}{11}$ and $m + n + p = 4 + 11 + 3 = 18.$

2012 AIME I 第 12 题

答案：18

难度评级：2840

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