Question

$\triangle ABC$ 的顶点为 $A=(0,0)$ 、 $B=(0,420)$ 和 $C=(560,0)$ 。一枚骰子的六个面分别标有两个 $A$ 、两个 $B$ 和两个 $C$ 。选取点 $P_1=(k,m)$ ，它位于 $\triangle ABC$ 内部；然后反复掷骰子并按以下规则生成点 $P_2$ 、 $P_3$ 、 $P_4$ 、 $\ldots$ ：若骰子掷出的标号为 $L$ ，其中 $L\in\{A,B,C\}$ ，且最近得到的点为 $P_n$ ，则 $P_{n+1}$ 是 $\overline{P_nL}$ 的中点。已知 $P_7=(14,92)$ ，求 $k+m$ 。

The vertices of $\triangle ABC$ are $A=(0,0),$ $B=(0,420),$ and $C=(560,0).$ The six faces of a die are labeled with two $A$ ’s, two $B$ ’s, and two $C$ ’s. Point $P_1=(k,m)$ is chosen in the interior of $\triangle ABC,$ and points $P_2,$ $P_3,$ $P_4,$ $\ldots$ are generated by rolling the die repeatedly and applying the rule: If the die shows label $L,$ where $L\in\{A,B,C\},$ and $P_n$ is the most recently obtained point, then $P_{n+1}$ is the midpoint of $\overline{P_nL}.$ Given that $P_7=(14,92),$ what is $k+m?$

答案

答案：344

知识点：坐标几何 2的幂递推

难度评级：2600

小提示：

将关于 $P_7$ 的方程乘以 $64$ ，逆向处理六次取中点操作

Reverse the six midpoint operations by multiplying the equation for $P_7$ by $64$

大提示：

六次掷出的顶点分别获得权重 $1$ 、 $2$ 、 $4$ 、 $8$ 、 $16$ 和 $32$ ；先使用 $x$ 坐标

The six rolled vertices receive the distinct weights $1,$ $2,$ $4,$ $8,$ $16,$ and $32$ ; use the $x$ -coordinate first

解答：

设 $X$ 和 $Y$ 分别为权重 $1$ 、 $2$ 、 $4$ 、 $8$ 、 $16$ 和 $32$ 中分配给掷出 $C$ 和 $B$ 的权重之和。反复应用中点规则可得 $\begin{aligned}64P_7&=P_1+X(560,0)\\&\quad+Y(0,420)\end{aligned}\text{。}$ 因此 $k=896-560X$ 。由于 $P_1$ 在三角形内部， $0<k<560$ ，这迫使 $X=1$ 、 $k=336$ 。随后，由点在三角形内部的坐标条件得 $0<m<168$ 。又因为 $m=5888-420Y$ ，所以唯一可能的整数 $Y$ 是 $14$ ，从而 $m=8$ 。因此 $k+m=344$ 。

Let $X$ and $Y$ be the sums of the weights $1,$ $2,$ $4,$ $8,$ $16,$ and $32$ assigned to rolls of $C$ and $B,$ respectively. Iterating the midpoint rule gives $\begin{aligned}64P_7&=P_1+X(560,0)\\&\quad+Y(0,420).\end{aligned}$ Hence $k=896-560X.$ Because $P_1$ is interior, $0<k<560,$ forcing $X=1$ and $k=336.$ The triangle inequality for its coordinates then gives $0<m<168.$ Since $m=5888-420Y,$ the only possible integer $Y$ is $14,$ giving $m=8.$ Therefore $k+m=344.$

1993 AIME 第 12 题

答案：344

难度评级：2600

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题