Question

阿尔弗雷德和邦妮轮流抛一枚均匀硬币进行游戏，每局最先抛出正面的人获胜。他们连续进行若干局，并规定上一局的失败者在下一局先抛。已知第一局由阿尔弗雷德先抛，且他赢得第六局的概率为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。 $m+n$ 的末三位数字是什么？

Alfred and Bonnie play a game in which they take turns tossing a fair coin. The winner of a game is the first person to obtain a head. Alfred and Bonnie play this game several times with the stipulation that the loser of a game goes first in the next game. Suppose that Alfred goes first in the first game, and that the probability that he wins the sixth game is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What are the last three digits of $m+n?$

答案

答案：93

知识点：基本概率递推递推概率

难度评级：2370

小提示：

分别计算阿尔弗雷德先抛和邦妮先抛时，阿尔弗雷德赢得一局的概率

Compute Alfred’s chance to win a single game when he goes first and when Bonnie goes first

大提示：

若 $p_r$ 是阿尔弗雷德赢得第 $r$ 局的概率，将 $p_{r+1}$ 表示成 $p_r$ 的式子

If $p_r$ is Alfred’s chance to win game $r$ , express $p_{r+1}$ in terms of $p_r$

解答：

阿尔弗雷德先抛时，赢得一局的概率为 $\frac{2}{3}$ ；邦妮先抛时，该概率为 $\frac{1}{3}$ 。由于失败者在下一局先抛， $\begin{aligned}p_{r+1}&=\frac23(1-p_r)+\frac13p_r\\&=\frac23-\frac13p_r,\qquad p_1=\frac23\end{aligned}\text{。}$ 因此 $p_r-\frac12=\frac{(-\frac{1}{3})^{r-1}}{6}$ 。特别地， $p_6=\frac12-\frac1{1458}=\frac{364}{729}$ 。所以 $m+n=1093$ ，其末三位数字为 $093$ 。

Alfred wins a game with probability $\frac{2}{3}$ when he starts and $\frac{1}{3}$ when Bonnie starts. Since the loser starts the next game, $\begin{aligned}p_{r+1}&=\frac23(1-p_r)+\frac13p_r\\&=\frac23-\frac13p_r,\qquad p_1=\frac23.\end{aligned}$ Thus $p_r-\frac12=\frac{(-\frac{1}{3})^{r-1}}{6}.$ In particular, $p_6=\frac12-\frac1{1458}=\frac{364}{729}.$ Therefore $m+n=1093,$ whose last three digits are $093.$

1993 AIME 第 11 题

答案：93

难度评级：2370

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题