Question

在半径为 $1$ 的圆 $C$ 上放置十二个全等圆盘，使这十二个圆盘覆盖 $C$ ，任意两个圆盘的内部互不重叠，并且每个圆盘都与相邻的两个圆盘相切。所得排列如下图所示。十二个圆盘的面积之和可写成 $\pi(a-b\sqrt c)$ 的形式，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是正整数，且 $c$ 不被任何质数的平方整除。求 $a+b+c$ 。

Twelve congruent disks are placed on a circle $C$ of radius $1$ in such a way that the twelve disks cover $C,$ no two of the disks overlap, and so that each of the twelve disks is tangent to its two neighbors. The resulting arrangement of disks is shown in the figure below. The sum of the areas of the twelve disks can be written in the form $\pi(a-b\sqrt c),$ where $a,$ $b,$ $c$ are positive integers and $c$ is not divisible by the square of any prime. Find $a+b+c.$

答案

答案：135

知识点：圆相切圆特殊直角三角形

难度评级：2200

小提示：

将 $C$ 的圆心分别连接到两个相邻圆盘的圆心及其切点。

Join the center of $C$ to the centers and tangency point of two neighboring disks

大提示：

所得直角三角形有一个角为 $15^\circ$ ，其邻边长为 $1$ ，对边长等于圆盘半径。

The resulting right triangle has angle $15^\circ$ , adjacent leg $1$ , and opposite leg equal to a disk radius

解答：

设 $O$ 为 $C$ 的圆心， $U$ 和 $V$ 为两个相邻圆盘的圆心， $T$ 为它们的切点。由 $12$ 重对称性， $\angle UOV=30^\circ$ ，且 $OT$ 平分这个角。另外， $T$ 是 $\overline{UV}$ 的中点，所以三角形 $OUT$ 在 $T$ 处为直角。因为 $T$ 位于 $C$ 上，所以 $OT=1$ ，而 $UT$ 是圆盘半径 $r$ 。因此 $r=\tan15^\circ=2-\sqrt3\text{。}$ 总面积为 $\begin{aligned}12\pi r^2&=12\pi(7-4\sqrt3)\\&=\pi(84-48\sqrt3)\end{aligned}\text{。}$ 所以 $a+b+c=84+48+3=135$ 。

Let $O$ be the center of $C,$ let $U$ and $V$ be the centers of two neighboring disks, and let $T$ be their tangency point. By the $12$ -fold symmetry, $\angle UOV=30^\circ,$ and $OT$ bisects that angle. Also $T$ is the midpoint of $\overline{UV},$ so triangle $OUT$ is right at $T.$ Since $T$ lies on $C,$ $OT=1,$ while $UT$ is the disk radius $r.$ Thus $r=\tan15^\circ=2-\sqrt3.$ The total area is $\begin{aligned}12\pi r^2&=12\pi(7-4\sqrt3)\\&=\pi(84-48\sqrt3).\end{aligned}$ Therefore $a+b+c=84+48+3=135.$

1991 AIME 第 11 题

答案：135

难度评级：2200

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题