Question

设 $ABCD$ 是一个平行四边形，且 $\angle BAD \lt 90^\circ$ 。一个圆与边 $\overline{DA}$ 、 $\overline{AB}$ 、 $\overline{BC}$ 相切，并与对角线 $\overline{AC}$ 交于点 $P$ 和 $Q$ ，其中 $AP \lt AQ$ ，如图所示。已知 $AP = 3$ 、 $PQ = 9$ 、 $QC = 16$ 。则 $ABCD$ 的面积可表示为 $m\sqrt{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数，且 $n$ 不被任何质数的平方整除。求 $m + n$ 。

Let $ABCD$ be a parallelogram with $\angle BAD \lt 90^\circ.$ A circle tangent to sides $\overline{DA},$ $\overline{AB},$ and $\overline{BC}$ intersects diagonal $\overline{AC}$ at points $P$ and $Q$ with $AP \lt AQ,$ as shown. Suppose that $AP = 3,$ $PQ = 9,$ and $QC = 16.$ Then the area of $ABCD$ can be expressed in the form $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers, and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

答案

答案：150

知识点：圆幂切线余弦定理平行四边形

难度评级：3060

小提示：

点的幂： $AP \cdot AQ = 36$ 且 $CQ \cdot CP = 400$ ，所以从 $A$ 与 $C$ 引出的切线长分别为 $6$ 和 $20$

Power of a point: $AP \cdot AQ = 36$ and $CQ \cdot CP = 400$ give tangent lengths $6$ from $A$ and $20$ from $C$

大提示：

相等切线长迫使 $BC = AB + 14$ ，而圆与平行线 $AD$ 和 $BC$ 都相切，给出 $AB \cos^2\!\frac{\angle A}{2} = 6$ ；最后对 $AC = 28$ 使用余弦定理

Equal tangents force $BC = AB + 14,$ and tangency to both parallel lines $AD$ and $BC$ gives $AB \cos^2\!\frac{\angle A}{2} = 6;$ finish with the law of cosines on $AC = 28$

解答：

由点的幂， $AP \cdot AQ = 3 \cdot 12 = 36$ ，且 $CQ \cdot CP = 16 \cdot 25 = 400$ ，所以从 $A$ 和 $C$ 引出的切线长分别为 $6$ 和 $20$ 。 $\overline{AB}$ 上的切点距 $A$ 为 $6$ ，因此距 $B$ 为 $AB - 6$ 。从 $B$ 引出的两条切线等长，所以 $\overline{BC}$ 上的切点距 $B$ 也是这个距离，从而它距 $C$ 的距离为 $BC - (AB - 6) = 20$ ，即 $BC = AB + 14$ 。

设 $\angle BAD = 2\theta$ 。圆心位于 $\angle A$ 的角平分线上，且从 $A$ 引出的切线长为 $6$ ，所以半径为 $\rho = 6\tan\theta$ 。圆与平行线 $AD$ 和 $BC$ 都相切，而这两条线的距离为 $AB \sin 2\theta$ ，故 $AB \sin 2\theta = 2\rho = 12 \tan\theta$ ，化简为 $AB \cos^2\theta = 6$ 。在三角形 $ABC$ 中， $\angle ABC = 180^\circ - 2\theta$ ，且 $AC = 3 + 9 + 16 = 28$ ，由余弦定理， $\begin{aligned} 784 &= AB^2 + BC^2 \\ &\quad {}+ 2 \cdot AB \cdot BC \cos 2\theta \end{aligned}\text{。}$ 代入 $BC = AB + 14$ 和 $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ ， $AB^2$ 项抵消；再用 $AB\cos^2\theta = 6$ ，方程化为 $24\,AB + 336 + 196 = 784$ ，所以 $AB = \frac{21}{2}$ ，且 $\cos^2\theta = \frac{4}{7}$ 。

因此 $\sin 2\theta = 2\sqrt{\frac{3}{7}}\sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$ ，面积为 $\begin{aligned} &AB \cdot BC \sin 2\theta \\ &= \frac{21}{2} \cdot \frac{49}{2} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} \\ &= 147\sqrt{3} \end{aligned}\text{，}$ 所以 $m + n = 147 + 3 = 150$ 。

By power of a point, $AP \cdot AQ = 3 \cdot 12 = 36$ and $CQ \cdot CP = 16 \cdot 25 = 400,$ so the tangent lengths from $A$ and $C$ are $6$ and $20.$ The tangent point on $\overline{AB}$ is $6$ from $A,$ hence $AB - 6$ from $B;$ equal tangents from $B$ put the tangent point on $\overline{BC}$ at that same distance from $B,$ so its distance from $C$ is $BC - (AB - 6) = 20,$ giving $BC = AB + 14.$

Let $\angle BAD = 2\theta.$ The center lies on the bisector of $\angle A$ with the tangent length from $A$ equal to $6,$ so the radius is $\rho = 6\tan\theta.$ The circle is tangent to both parallel lines $AD$ and $BC,$ whose distance apart is $AB \sin 2\theta,$ so $AB \sin 2\theta = 2\rho = 12 \tan\theta,$ which simplifies to $AB \cos^2\theta = 6.$ In triangle $ABC,$ $\angle ABC = 180^\circ - 2\theta$ and $AC = 3 + 9 + 16 = 28,$ so the law of cosines gives $\begin{aligned} 784 &= AB^2 + BC^2 \\ &\quad {}+ 2 \cdot AB \cdot BC \cos 2\theta. \end{aligned}$ Substituting $BC = AB + 14$ and $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1,$ the $AB^2$ terms cancel and, using $AB\cos^2\theta = 6,$ the equation collapses to $24\,AB + 336 + 196 = 784,$ so $AB = \frac{21}{2}$ and $\cos^2\theta = \frac{4}{7}.$

Then $\sin 2\theta = 2\sqrt{\frac{3}{7}}\sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{4\sqrt{3}}{7},$ and the area is $\begin{aligned} &AB \cdot BC \sin 2\theta \\ &= \frac{21}{2} \cdot \frac{49}{2} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} \\ &= 147\sqrt{3}, \end{aligned}$ so $m + n = 147 + 3 = 150.$

2022 AIME I 第 11 题

答案：150

难度评级：3060

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