Question

设 $m$ 是正整数，且 $a_0$ 、 $a_1$ 、 $\ldots$ 、 $a_m$ 是一列实数，满足 $a_0 = 37$ 、 $a_1 = 72$ 、 $a_m = 0$ ，并且对 $k = 1$ 、 $2$ 、 $\ldots$ 、 $m - 1$ 都有 $a_{k+1} = a_{k-1} - \frac{3}{a_k}\text{。}$ 求 $m$ 。

Let $m$ be a positive integer, and let $a_0,$ $a_1,$ $\ldots,$ $a_m$ be a sequence of real numbers such that $a_0 = 37,$ $a_1 = 72,$ $a_m = 0,$ and $a_{k+1} = a_{k-1} - \frac{3}{a_k}$ for $k = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $m - 1.$ Find $m.$

答案

答案：889

知识点：递推等差数列代数变形

难度评级：2520

小提示：

将递推式乘以 $a_k$ ，可看出乘积 $a_k a_{k-1}$ 每一步减少 $3$ 。

Multiply the recurrence by $a_k$ to see that the products $a_k a_{k-1}$ drop by $3$ at each step

大提示：

$a_1 a_0 = 2664 = 3 \cdot 888$ ，且 $a_m = 0$ 恰好在乘积 $a_m a_{m-1}$ 达到 $0$ 时发生。

$a_1 a_0 = 2664 = 3 \cdot 888,$ and $a_m = 0$ exactly when the product $a_m a_{m-1}$ reaches $0$

解答：

将递推式乘以 $a_k$ ，得 $a_{k+1} a_k = a_k a_{k-1} - 3$ ，所以乘积 $b_k = a_k a_{k-1}$ 构成公差为 $-3$ 的等差数列。由于 $b_1 = 72 \cdot 37 = 2664 = 3 \cdot 888$ ，得 $\begin{aligned} b_k &= 2664 - 3(k - 1) \\ &= 3(889 - k) \end{aligned}\text{。}$

因此当 $k \le 888$ 时 $b_k \gt 0$ ，所以 $a_{889}$ 之前没有任何一项为零（递推式也不会除以零），而 $b_{889} = a_{889} a_{888} = 0$ 且 $a_{888} \ne 0$ 。因此 $a_{889} = 0$ ，所以 $m = 889$ 。

Multiplying the recurrence by $a_k$ gives $a_{k+1} a_k = a_k a_{k-1} - 3,$ so the products $b_k = a_k a_{k-1}$ form an arithmetic sequence with common difference $-3.$ Since $b_1 = 72 \cdot 37 = 2664 = 3 \cdot 888,$ we get $\begin{aligned} b_k &= 2664 - 3(k - 1) \\ &= 3(889 - k). \end{aligned}$

Thus $b_k \gt 0$ for $k \le 888,$ so no term before $a_{889}$ can vanish (and the recurrence never divides by zero), while $b_{889} = a_{889} a_{888} = 0$ with $a_{888} \ne 0.$ Hence $a_{889} = 0,$ and $m = 889.$

2005 AIME II 第 11 题

答案：889

难度评级：2520

小提示：

大提示：

解答：

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