Question

图示立体的底面是边长为 $s$ 的正方形。上方的棱与底面平行，长度为 $2s$ 。其他各棱的长度均为 $s$ 。已知 $s=6\sqrt2$ ，求该立体的体积。

The solid shown has a square base of side length $s.$ The upper edge is parallel to the base and has length $2s.$ All other edges have length $s.$ Given that $s=6\sqrt2,$ what is the volume of the solid?

答案

答案：288

知识点：立体几何体积长度、面积与体积的缩放关系

难度评级：2720

小提示：

把上方棱的任一端点投影到底面上，以求出立体的高

Find the height by projecting either endpoint of the upper edge onto the base

大提示：

在离底面高度为总高的 $t$ 倍处，截面是边长分别为 $s(1-t)$ 和 $s(1+t)$ 的矩形

At a fraction $t$ of the height, the cross-section is a rectangle with sides $s(1-t)$ and $s(1+t)$

解答：

上方棱的每个端点都与正方形底面某一条边的两个端点相连。因此，它到该边中点的距离为 $\frac{\sqrt3s}{2}$ 。每个上方端点的投影都越过该中点 $\frac{s}{2}$ ，因为两个投影端点相距 $2s$ ，而底面两条对边的中点相距 $s$ 。所以立体的高 $h$ 满足 $h^2=\left(\frac{\sqrt3s}{2}\right)^2-\left(\frac{s}{2}\right)^2 =\frac{s^2}{2}\text{，}$ 从而 $h=\frac{s}{\sqrt2}$ 。

在离底面高度为总高的 $t$ 倍处，截面为长宽分别是 $s(1-t)$ 和 $s(1+t)$ 的矩形，面积为 $s^2(1-t^2)$ 。由卡瓦列里原理，所求体积等于棱柱体积 $s^2h$ 减去棱锥体积 $\frac{s^2h}{3}$ ： $V=\frac23s^2h=\frac{\sqrt2}{3}s^3\text{。}$ 代入 $s=6\sqrt2$ ，得到 $V=288$ 。

Each endpoint of the upper edge is joined to the endpoints of one side of the square base. Its distance to that side’s midpoint is therefore $\frac{\sqrt3s}{2}.$ The projection of each upper endpoint lies $\frac{s}{2}$ beyond that midpoint, because the two projected endpoints are $2s$ apart while the two opposite-side midpoints are $s$ apart. Thus the height $h$ satisfies $h^2=\left(\frac{\sqrt3s}{2}\right)^2-\left(\frac{s}{2}\right)^2 =\frac{s^2}{2},$ so $h=\frac{s}{\sqrt2}.$

At a fraction $t$ of the height above the base, the cross-section is a rectangle whose dimensions are $s(1-t)$ and $s(1+t).$ Its area is $s^2(1-t^2).$ By Cavalieri’s principle, the volume is the volume $s^2h$ of a prism minus the volume $\frac{s^2h}{3}$ of a pyramid: $V=\frac23s^2h=\frac{\sqrt2}{3}s^3.$ Substituting $s=6\sqrt2$ gives $V=288.$

1983 AIME 第 11 题

答案：288

难度评级：2720

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题