Question

在 $xy$ 平面中，一个椭圆的两个焦点为 $(9,20)$ 和 $(49,55)$ ，且该椭圆与 $x$ 轴相切。它的长轴长是多少？

An ellipse has foci at $(9,20)$ and $(49,55)$ in the $xy$ -plane and is tangent to the $x$ -axis. What is the length of its major axis?

答案

答案：85

知识点：椭圆反射（几何）距离公式

难度评级：2360

小提示：

在切点处，椭圆上各点到两焦点的恒定距离和，等于 $x$ 轴上点到两焦点距离之和的最小值

At tangency, the constant sum of distances is the minimum such sum for a point on the $x$ -axis

大提示：

将一个焦点关于 $x$ 轴反射，把折线路径化为直线段

Reflect one focus across the $x$ -axis to turn the broken path into a straight segment

解答：

将 $(49,55)$ 关于 $x$ 轴反射到 $(49,-55)$ 。对 $x$ 轴上的点 $P$ ，它到原来两个焦点的距离之和，等于从 $(9,20)$ 经 $P$ 到 $(49,-55)$ 的折线路径长度。其最小值为直线距离 $\begin{aligned} &\sqrt{(49-9)^2+(-55-20)^2}\\ &\qquad{}=\sqrt{40^2+75^2}=85 \end{aligned}\text{。}$ 相切意味着椭圆上各点到两焦点的恒定距离和恰好等于这个最小值，而这个距离和就是长轴长，所以答案为 $85$ 。

Reflect $(49,55)$ across the $x$ -axis to $(49,-55).$ For a point $P$ on the $x$ -axis, the sum of its distances to the original foci equals the length of a broken path from $(9,20)$ through $P$ to $(49,-55).$ Its minimum is the straight-line distance $\begin{aligned} &\sqrt{(49-9)^2+(-55-20)^2}\\ &\qquad{}=\sqrt{40^2+75^2}=85. \end{aligned}$ Tangency means that the ellipse’s constant distance sum equals this minimum. That sum is the major-axis length, so the answer is $85.$

1985 AIME 第 11 题

答案：85

难度评级：2360

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题