Question

设 $f_1(x) = \frac{2}{3} - \frac{3}{3x + 1}$ ，并且对 $n \ge 2$ ，定义 $f_n(x) = f_1(f_{n-1}(x))$ 。满足 $f_{1001}(x) = x - 3$ 的 $x$ 可表示为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

Let $f_1(x) = \frac{2}{3} - \frac{3}{3x + 1},$ and for $n \ge 2,$ define $f_n(x) = f_1(f_{n-1}(x)).$ The value of $x$ that satisfies $f_{1001}(x) = x - 3$ can be expressed in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：8

知识点：函数二次方程找规律

难度评级：2650

小提示：

将 $f_1$ 写成一个分式，再手算 $f_2$ 和 $f_3$ ；一个规律便会显现。

Write $f_1$ as a single fraction and compute $f_2$ and $f_3$ by hand — a pattern appears

大提示：

$f_3(x) = x$ ，所以 $f_{1001} = f_2$ ；令 $f_2(x) = x - 3$ 会得到一个有重根的二次方程。

$f_3(x) = x,$ so $f_{1001} = f_2;$ setting $f_2(x) = x - 3$ gives a quadratic with a double root

解答：

合并分式， $f_1(x) = \frac{2(3x + 1) - 9}{3(3x + 1)} = \frac{6x - 7}{9x + 3}$ 。再复合一次， $f_2(x) = \frac{6 f_1(x) - 7}{9 f_1(x) + 3} = \frac{-3x - 7}{9x - 6}$ ，第三次复合得到 $f_3(x) = x$ 。

因此迭代以 $3$ 为周期。由于 $1001 \equiv 2 \pmod{3}$ ，有 $f_{1001} = f_2$ ，方程变为 $\frac{-3x - 7}{9x - 6} = x - 3\text{，}$ 即 $9x^2 - 33x + 18 = -3x - 7$ ，或 $9x^2 - 30x + 25 = (3x - 5)^2 = 0$ 。

唯一解为 $x = \frac{5}{3}$ ，所以 $m + n = 5 + 3 = 8$ 。

Combining fractions, $f_1(x) = \frac{2(3x + 1) - 9}{3(3x + 1)} = \frac{6x - 7}{9x + 3}.$ Composing once, $f_2(x) = \frac{6 f_1(x) - 7}{9 f_1(x) + 3} = \frac{-3x - 7}{9x - 6},$ and composing again gives $f_3(x) = x.$

So the iteration is periodic with period $3.$ Since $1001 \equiv 2 \pmod{3},$ we have $f_{1001} = f_2,$ and the equation becomes $\frac{-3x - 7}{9x - 6} = x - 3,$ that is $9x^2 - 33x + 18 = -3x - 7,$ or $9x^2 - 30x + 25 = (3x - 5)^2 = 0.$

The unique solution is $x = \frac{5}{3},$ so $m + n = 5 + 3 = 8.$

2012 AIME II 第 11 题

答案：8

难度评级：2650

小提示：

大提示：

解答：

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