Question

前 $1000$ 个正整数中，有多少个可表示为 $\lfloor2x\rfloor+\lfloor4x\rfloor+\lfloor6x\rfloor+\lfloor8x\rfloor\text{，}$ 其中 $x$ 为实数，而 $\lfloor z\rfloor$ 表示不超过 $z$ 的最大整数？

How many of the first $1000$ positive integers can be expressed in the form $\lfloor2x\rfloor+\lfloor4x\rfloor+\lfloor6x\rfloor+\lfloor8x\rfloor,$ where $x$ is a real number, and $\lfloor z\rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $z?$

答案

答案：600

知识点：取整函数模运算区间内整数计数

难度评级：2340

小提示：

代入 $y=2x$ ，再将 $y$ 分为整数部分与小数部分

Substitute $y=2x$ and separate $y$ into its integer and fractional parts

大提示：

求 $0\leq r\lt1$ 时 $\lfloor r\rfloor+\lfloor2r\rfloor+\lfloor3r\rfloor+\lfloor4r\rfloor$ 的所有可能值

Determine the values of $\lfloor r\rfloor+\lfloor2r\rfloor+\lfloor3r\rfloor+\lfloor4r\rfloor$ for $0\leq r\lt1$

解答：

令 $y=2x=m+r$ ，其中 $m$ 为整数，且 $0\leq r\lt1$ 。原式为 $10m+\lfloor r\rfloor+\lfloor2r\rfloor+\lfloor3r\rfloor+\lfloor4r\rfloor\text{。}$ 检查分界点 $r=\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{3}$ 、 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{2}{3}$ 、 $\frac{3}{4}$ ，可知小数部分的贡献恰可取 $0$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $6$ 。因而模 $10$ 时恰有六个可取的剩余类。前 $1000$ 个正整数中，可表示出的数共有 $100\cdot6=600$ 个。

Let $y=2x=m+r,$ where $m$ is an integer and $0\leq r\lt1.$ The expression is $10m+\lfloor r\rfloor+\lfloor2r\rfloor+\lfloor3r\rfloor+\lfloor4r\rfloor.$ Checking the breakpoints $r=\frac{1}{4},$ $\frac{1}{3},$ $\frac{1}{2},$ $\frac{2}{3},$ $\frac{3}{4}$ shows that the fractional-part contribution takes exactly the values $0,$ $1,$ $2,$ $4,$ $5,$ and $6.$ Thus precisely six residue classes modulo $10$ are attainable. Among the first $1000$ positive integers, this gives $100\cdot6=600.$

1985 AIME 第 10 题

答案：600

难度评级：2340

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题