Question

在一个圆中，长度分别为 $2$ 、 $3$ 和 $4$ 的平行弦所对的圆心角依次为 $\alpha$ 、 $\beta$ 和 $\alpha+\beta$ 弧度，其中 $\alpha+\beta\lt\pi$ 。正有理数 $\cos\alpha$ 写成最简分数后，其分子与分母之和是多少？

In a circle, parallel chords of lengths $2,$ $3,$ and $4$ determine central angles of $\alpha,$ $\beta,$ and $\alpha+\beta$ radians, respectively, where $\alpha+\beta\lt\pi.$ If $\cos\alpha,$ which is a positive rational number, is expressed as a fraction in lowest terms, what is the sum of its numerator and denominator?

答案

答案：49

知识点：弦三角恒等式方程组

难度评级：2410

小提示：

所对圆心角为 $\theta$ 的弦长为 $2R\sin(\frac{\theta}{2})$

A chord subtending angle $\theta$ has length $2R\sin(\frac{\theta}{2})$

大提示：

令 $x=\cos(\frac{\alpha}{2})$ ，且 $y=\cos(\frac{\beta}{2})$ ，再消去共同的半径

Let $x=\cos(\frac{\alpha}{2})$ and $y=\cos(\frac{\beta}{2}),$ then eliminate the common radius

解答：

令 $k=\frac{1}{2R}$ 、 $x=\cos(\frac{\alpha}{2})$ ，且 $y=\cos(\frac{\beta}{2})$ 。由弦长数据可得 $\begin{aligned} \sin\frac\alpha2&=2k,\\ \sin\frac\beta2&=3k,\\ \sin\frac{\alpha+\beta}{2}&=4k \end{aligned}\text{。}$ 和角公式给出 $2y+3x=4$ 。另外， $\frac{1-x^2}{4}=\frac{1-y^2}{9}\text{，}$ 所以 $9x^2-4y^2=5$ 。代入 $y=\frac{4-3x}{2}$ 得 $x=\frac{7}{8}$ 。因此 $\cos\alpha=2x^2-1=\frac{17}{32}\text{，}$ 所求之和为 $17+32=49$ 。

Put $k=\frac{1}{2R},$ $x=\cos(\frac{\alpha}{2}),$ and $y=\cos(\frac{\beta}{2}).$ The chord data give $\begin{aligned} \sin\frac\alpha2&=2k,\\ \sin\frac\beta2&=3k,\\ \sin\frac{\alpha+\beta}{2}&=4k. \end{aligned}$ The addition formula yields $2y+3x=4.$ Also $\frac{1-x^2}{4}=\frac{1-y^2}{9},$ so $9x^2-4y^2=5.$ Substituting $y=\frac{4-3x}{2}$ gives $x=\frac{7}{8}.$ Hence $\cos\alpha=2x^2-1=\frac{17}{32},$ and the requested sum is $17+32=49.$

1985 AIME 第 9 题

答案：49

难度评级：2410

小提示：

大提示：

解答：

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