Question

En un círculo, unas cuerdas paralelas de longitudes $2,$ $3,$ y $4$ determinan ángulos centrales de $\alpha,$ $\beta,$ y $\alpha+\beta$ radianes, respectivamente, donde $\alpha+\beta\lt\pi.$ Si el número racional positivo $\cos\alpha$ se expresa como una fracción irreducible, ¿cuál es la suma de su numerador y su denominador?

In a circle, parallel chords of lengths $2,$ $3,$ and $4$ determine central angles of $\alpha,$ $\beta,$ and $\alpha+\beta$ radians, respectively, where $\alpha+\beta\lt\pi.$ If $\cos\alpha,$ which is a positive rational number, is expressed as a fraction in lowest terms, what is the sum of its numerator and denominator?

Respuesta

Respuesta: 49

Conceptos:cuerda identidad trigonométrica sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Una cuerda que subtiende un ángulo $\theta$ tiene longitud $2R\sin(\frac{\theta}{2})$

A chord subtending angle $\theta$ has length $2R\sin(\frac{\theta}{2})$

Pista grande:

Sean $x=\cos(\frac{\alpha}{2})$ y $y=\cos(\frac{\beta}{2}),$ y después elimina el radio común

Let $x=\cos(\frac{\alpha}{2})$ and $y=\cos(\frac{\beta}{2}),$ then eliminate the common radius

Solución:

Sean $k=\frac{1}{2R},$ $x=\cos(\frac{\alpha}{2}),$ y $y=\cos(\frac{\beta}{2}).$ Los datos de las cuerdas dan $\begin{aligned} \sin\frac\alpha2&=2k,\\ \sin\frac\beta2&=3k,\\ \sin\frac{\alpha+\beta}{2}&=4k. \end{aligned}$ La fórmula de adición produce $2y+3x=4.$ Además, $\frac{1-x^2}{4}=\frac{1-y^2}{9},$ así que $9x^2-4y^2=5.$ Al sustituir $y=\frac{4-3x}{2},$ se obtiene $x=\frac{7}{8}.$ Por tanto, $\cos\alpha=2x^2-1=\frac{17}{32},$ y la suma pedida es $17+32=49.$

Put $k=\frac{1}{2R},$ $x=\cos(\frac{\alpha}{2}),$ and $y=\cos(\frac{\beta}{2}).$ The chord data give $\begin{aligned} \sin\frac\alpha2&=2k,\\ \sin\frac\beta2&=3k,\\ \sin\frac{\alpha+\beta}{2}&=4k. \end{aligned}$ The addition formula yields $2y+3x=4.$ Also $\frac{1-x^2}{4}=\frac{1-y^2}{9},$ so $9x^2-4y^2=5.$ Substituting $y=\frac{4-3x}{2}$ gives $x=\frac{7}{8}.$ Hence $\cos\alpha=2x^2-1=\frac{17}{32},$ and the requested sum is $17+32=49.$

1985 AIME Problema 9

Respuesta: 49

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años